2018.10.18【CodeForcesGYM】【ECNA2017】B-Craters（圆的凸包）

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解析 （瞎扯） ：

怎么在圆上面做凸包？
真是一个蛋疼的问题。。。

思路：

拿到这个题目的我开始是懵逼的。。。

然而神奇的我居然一发过了样例。。。

其实这道题真的是说起来容易写起来扯淡。

首先我们先确定哪些圆保留下来做凸包。
内含的去掉中间，重合的保留一个。

总之仗着数据范围不大随便乱搞一波，去掉浪费时间的圆。

然后随手画一个凸包会发现，与圆的交点都在圆与其他圆的公切线上。
所以仗着数据范围不大再次把所有剩下的圆中两两之间的公切点求出来。

$O(1)$求公切线真的是这份代码里面卡了我一会的地方了。其他都是知道想法照着打就行了。

然后求凸包。
求完凸包直接求周长？
$NAIVE!!!!$

这道题真正卡住我的就是这里。。。
你凸包上的点。。。有没有可能在其他圆的内部。。。它就显然不应该是凸包上的点。

是的，在其他圆内部的点必须删去，不然最后无法求出正确答案。
实际上这样依然是仗着数据范围小来做的。由于每一个圆在凸包上露出一段才可能有点在凸包上被考虑到。可以证明，凸包总的点数不会超过 $4n$，实际上根本到不了这么多。

所以我们直接对于每一个圆，除了它的切点，判断一次，判断每一个点是否能够被保留在凸包上。

最后，统计周长不要忘了，优弧的存在使得我们需要判断一下，然后弧度用 $2\pi$去减。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const

inline double getdb(){
	re double x,y=1.0;
	re char c;
	re bool f=0;
	while(!isdigit(c=gc()))if(c=='-')f=1;x=c^48;
	while(isdigit(c=gc()))x=(x*10)+(c^48);
	if(c!='.')return f?-x:x;
	while(isdigit(c=gc()))x+=(y/=10)*(c^48);
	return f?-x:x;
}

cs int N=1005;
cs double PI=acos(-1.0),eps=1e-7;
struct Point{
	double x,y;
	int id;
	Point(cs double &_x=0,cs double &_y=0,cs int &_id=0):x(_x),y(_y),id(_id){}
	friend Point operator+(cs Point &a,cs Point &b){return Point(a.x+b.x,a.y+b.y);}
	friend Point operator-(cs Point &a,cs Point &b){return Point(a.x-b.x,a.y-b.y);}
	friend Point operator*(cs Point &a,cs double &b){return Point(a.x*b,a.y*b);}
	friend Point operator/(cs Point &a,cs double &b){return Point(a.x/b,a.y/b);}
	friend double operator*(cs Point &a,cs Point &b){return a.x*b.y-b.x*a.y;}
	friend double dot(cs Point &a,cs Point &b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
	double norm()cs{return sqrt(dot(*this,*this));}
	friend Point rotate(cs Point &a,cs double &rad){return Point(a.x*cos(rad)-a.y*sin(rad),a.x*sin(rad)+a.y*cos(rad));}
	Point reflect()cs{return Point(-y,x)/norm();}
}p[N*N*2];
int n;
inline double dist(cs Point &a,cs Point &b){
	return (a-b).norm();
} 

inline double angle(cs Point &a,cs Point &b){
	return acos(dot(a,b)/a.norm()/b.norm());
}

int tot;
inline int sign(cs double &x){
	return fabs(x)<eps?0:(x>0?1:-1);
}

inline bool cmp(cs Point &a,cs Point &b){
	return sign((a-p[1])*(b-p[1]))==0?(a-p[1]).norm()<(b-p[1]).norm():sign((a-p[1])*(b-p[1]))>0;
}

inline bool check(cs Point &a);

inline void convex_hull(int m){
	for(int re i=2;i<=m;++i)
	if(sign(p[i].x-p[1].x)<0||(sign(p[i].x-p[1].x)==0&&sign(p[i].y-p[1].y)>0))swap(p[1],p[i]);
	sort(p+2,p+m+1,cmp);
	n=1;
	for(int re i=2;i<=m;++i){
		while(n>=2&&sign((p[n]-p[n-1])*(p[i]-p[n-1]))<=0)--n;
		p[++n]=p[i];
	}
	m=n;
	n=0;
	for(int re i=1;i<=m;++i){
		if(check(p[i]))p[++n]=p[i];
	}
}

struct Circle{
	Point o;
	double r;
	int id;
	Point radius()cs{return Point(r,0);}
	bool in(cs Point &a)cs{
		return dist(a,o)<r+eps;
	}
}c[N];

inline void work(Circle a,Circle b){
	if(a.r>b.r)swap(a,b);
	double D=dist(a.o,b.o);
	double d=b.r-a.r;
	double rad=atan2(a.o.y-b.o.y,a.o.x-b.o.x);
	Point k=rotate(a.radius(),rad+acos(d/D));
	p[++n]=a.o+k;p[n].id=a.id;
	k=rotate(a.radius(),rad-acos(d/D));
	p[++n]=a.o+k;p[n].id=a.id;
	k=rotate(b.radius(),rad+acos(d/D));
	p[++n]=b.o+k;p[n].id=b.id;
	k=rotate(b.radius(),rad-acos(d/D));
	p[++n]=b.o+k;p[n].id=b.id;
}

inline void build(int m){
	n=0;
	for(int re i=1;i<=m;++i)
	for(int re j=i+1;j<=m;++j)work(c[i],c[j]);
}

double ans;
inline void solve(){
	for(int re i=1;i<=n;++i){
		if(p[i].id==p[i%n+1].id){
			int id=p[i].id;
			double rad=angle(p[i]-c[id].o,p[i%n+1]-c[id].o);
			if((p[i]-c[id].o)*(p[i%n+1]-c[id].o)<eps)rad=2*PI-rad;
			ans+=rad*c[id].r;
		}
		else ans+=dist(p[i],p[i%n+1]);
	}
	printf("%.10f",ans);
}

inline bool check(cs Point &a){
	for(int re i=1;i<=tot;++i){
		if(i!=a.id)
		if(c[i].in(a))return false;
	}
	return true;
}

bool ban[N];
signed main(){
	scanf("%d",&n);if(n==0)return puts("0.00000000"),0;
	for(int re i=1;i<=n;++i){
		c[i].o.x=getdb();
		c[i].o.y=getdb();
		c[i].r=getdb()+10;
	}
	for(int re i=1;i<=n;++i){
		if(!ban[i])
		for(int re j=1;j<=n;++j){
			if(i==j||ban[j])continue;
			if(dist(c[i].o,c[j].o)>c[i].r)continue;
			if(dist(c[i].o,c[j].o)<eps){
				if(c[j].r<=c[i].r)ban[j]=true;
				continue;
			}
			if(dist(c[i].o,c[j].o)+c[j].r<=c[i].r)ban[j]=true;
		}
	}
	{
		int cnt=0;
		for(int re i=1;i<=n;++i)if(!ban[i])c[++cnt]=c[i],c[cnt].id=cnt;
		tot=n=cnt;
	}
	if(n==1){
		printf("%.10f",2*PI*c[1].r);
		return 0;
	}
	build(n);
	convex_hull(n);
	solve();
	return 0;
}