题目与思路均来自《算法基础与在线实践》这本书，博客主要为了记录一下并且总结自己的问题
题目很长，直接放链接讨厌的青蛙
要求出最长的路径，就要比较所有的路径长度。对于每一条路径，因为步长相等，所以只要确定开始两个被踩的点就可以求出整条路径了。假设前两个点为（x1,y1）,（x2,y2），则步长dx=x2-x1,dy=y2-y1,需要判断下面三个条件是否都满足。
- 之后的每个点（xi,yi）=（x(i-1)+dx,y(i-1)+dy）=(x2+(i-2)*dx,y2+(i-2)*dy)
- (x1-dx,y1-dy)需要落在稻田之外
- 将路径上的最后一棵水稻记作（xk,yk），则（xk+dx,yk+dy）需要落在稻田之外
因此，程序只需要枚举前两个点，然后判断整条路径是否存在并判断长度是否大于当前最大值，即可。判断一个点是否被踩过，可以用一个布尔矩阵。布尔矩阵一开始就存好各个点的状态，true表示被踩过，false表示没有被踩过。这样之后判断可以用O（1）的效率确定一个点是否被踩过。
由于时限要求，实现时要注意一些条件的判断，以提高效率。例如，当下列条件之一满足时，当前枚举的两个点的路径就不满足最长路径。
- 青蛙不能经过一跳从稻田外跳到（x1,y1）上（此时一定不满足条件）。
- 按照（x1,y1）,(x2,y2)确定的步长，从（x1,y1）出发，青蛙经过（MAXSTEPS-1）步，就会跳到稻田外，其中MAXSTEPS就是当前已经找到的最好答案（此时即使满足条件，答案也不会更优）。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 5000+10
struct Point{
int x,y;
};
int ans=0;//答案，即最大被踩水稻数
bool flag[MAXN][MAXN];
Point p[MAXN];
int r,c;
bool outside(int x1,int y1)
{
if(x1<=0||x1>r||y1<=0||y1>c)
return true;
else return false;
}
bool operator <(const Point &a,const Point &b)
{
return(a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y));
}
bool count(int a,int b)
{
int dx=p[b].x-p[a].x;
int dy=p[b].y-p[a].y;
//不能一步从稻田外跳到（x1,y1x）上，排除
if(!outside(p[a].x-dx,p[a].y-dy))
return false;
//如果经过ans步跳了出去，一定不会更新ans值
if(outside((p[a].x+ans*dx),(p[a].y+ans*dy)))
return false;
int k=2;
int x1=p[b].x+dx;
int y1=p[b].y+dy;
//当下一步还在稻田里并且存在，步长加1
while(!outside(x1,y1)&&flag[x1][y1]){
k++;
x1+=dx;
y1+=dy;
}
//跳出上个循环的条件为最后一步在稻田外才能算一个路径
if(outside(x1,y1)&&k>ans)
ans=k;
}
int main()
{
//freopen函数可以直接从文件中读取数据
//freopen("讨厌的青蛙.txt","r",stdin);
int n;
cin>>r>>c>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>p[i].x>>p[i].y;
flag[p[i].x][p[i].y]=true;
}
//排序可以提高效率
//每种可行的路径都既可以从小到大跳过去，也可以从大到小跳
sort(p,p+n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=i+1;j<n;j++)
count(i,j);
if(ans<3)
ans=0;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
实现技巧：
- 可以将稻田存储为矩阵，从而快速判断一个点是否被踩过。考虑到空间要求，矩阵可以使用bool类型，从而避免超出内存空间限制。
- 注意以下条件可以提高时间效率。
- 一开始对所有点按位置排序，这样枚举只用枚举（n-1）*n/2对起始点即可。
- 枚举两个起点后，加入一些预判条件，如问题分析中的两个条件，判断第一只青蛙能否一步从稻田外跳入、当前路径的最大长度是否大于当前最大值等。
练习时出现的一些问题：
1.刚开始不懂排序的作用，尝试直接去掉排序
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=i+1;j<n;j++)
count(i,j);这样枚举，答案一直错误，后来发现这样不能列举完所有情况
而下面这样枚举又会超时
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
count(i,j);对于任何一条可行的路径，青蛙可以从大坐标往小坐标跳，也可以从小坐标往大坐标跳而把p数组排序后，所以排序后再枚举就可以大大减少枚举次数。
2.题目要考虑的因素太多，总是忘记一些
while(!outside(x1,y1)&&flag[x1][y1]){
k++;
x1+=dx;
y1+=dy;
}路线的最后一个点必须能一步跳到稻田外，所以累加到最后的那个点不仅要满足不在被踩点的范围里，还要满足!outside（x1,y1）
一开始忘记判断累加点是否被踩过，写成了这个样子
while(!outside(x1,y1)){
k++;
x1+=dx;
y1+=dy;
}以至于下一个if函数始终不理解判断点是否在稻田外的做法
if(outside(x1,y1)&&k>ans)
ans=k;