试图还原老师讲课的思路
Integers
Addition, negation, multiplication, shifting
Unsigned Addition
w bits + w bits ： 实际结果可能是（w+1）bits，如果只用w bits存储，最高位就会被丢弃（进位）
举个例子：
两个4bit的数相加，其true sum应当是0~30，用三维图表示应当是线性增加的：如果你只用4bit来存储结果，就会出现overflow：
不管是有符号数的加法还是无符号数的加法，都是对应二进制相加，在进位，没什么区别。但是这里有一些有趣的事可以拿出来讨论下：两个负数相加会怎样？例如(-1)+(-1),怎样考虑最高位？
另外试想一下最大的整数+最小的负数会出现什么情况，怎么处理？
我们先看第二个问题，以8 Bits数为例：
最大正：0111_1111
最小负：1000_0000
相加，其结果是1111_1111，是十进制的-1，怎么解释呢？
答案是转化到补码进行运算。
此时我们看第一个问题：
-1的原码：1000_0001
-1的反码：1111_1110
-1的补码：1111_1111 （数值位取反+1）
1111_1111
+ 1111_1111
----------------
1111_1110
变回原码：1000_0010 即十进制的-2
（这里我有一个疑问，就是补码的好处就是可以符号位和数值位一样参与运算，那么当前的计算结果应为1_0111_1110，舍弃高位进位就是0111_1110，转换成原码为0000_0010，为十进制的+2，这不是溢出了吗？希望懂的人能留言讨论。）
第二个问题：
0111_1111的补码还是本身
1000_0000的补码是：1000_0001
0111_1111
+ 1000_0001
-------------------
10000_0000
高位舍弃：0000_0000 即+0，就是十进制的0
溢出问题：因为补码里，整数负数是一个循环（wrap around），所以两个正数相加溢出就变成了负数（mod 2^N ），两个负数相加溢出就会变成正数（也是mod 2^N的结果）
补充内容：
https://en.wikipedia.org/wiki/Two's_complement#Arithmetic_operations
https://www.zhoulujun.cn/html/theory/algorithm/2015_0706_3.html
Multiplication
首先，我们思考一个问题，两个数相乘需要多少位存储？
从最大数相加考虑，举个例子，3*3=9，需要4位；7*7=49.需要6；15*15=225.需要8位，。。。
可以看出m bit * n bit，需要(m+n)bit 存储。
为什么呢？
我们可以将乘法转化为加法，例如a*b，其实就是b个a相加或者说a个b相加，那么最极端的情况就是每加一次上一次结果的最高位都进位1。
如果乘数是2的倍数（2^N），直接左移N位，同理，除的话就是右移。
有些人写代码时会一直想使用上述规则。但是不要写这样的代码，1.可读性差，2，编译器会帮你做优化的。
另外，右移是可能会导致丢失精度的。
我们先看正数：
7: 0_0111
7>>1: 0_0011 = 3 接近0，向下取整
如果是负数呢？
-7：1_1001 (可以这样分析：全1为-1，我们的有2个0，即-1-6=-7)
-7>>1: 1_1100 = -4 远离0，向下取整
正数移位绝对值变小，负数移位绝对值变大。假如你需要绝对值都变小，则需要自己调整。
一句话就是：总是往左移
如果希望负数往0靠近，可以采用加上bias的方法：计算(x + (1<<k)-1) >> k
如果系统不需要负数，尽量使用unsigned，为什么呢？
1.表示的数范围更大；2. 右移时总是向0靠近
Representations in memory, pointers, strings
程序通过地址访问数据，地址是以字节为单位的。32位系统，寄存器是32位的，一次可以存4个字节；64系统寄存器是64位，一次可以存8个字节。这都不影响第一个数据的地址为0，然后一个字节一个字节增加（称为offset）。但是他们可以访问的地址数不同（CPU有一个地址寄存器），对于32位机：最大地址为4GB（2^32字节）；对于64位机，最大地址为18EB（2^64 字节）。在内存里，数据是Word-Oriented。
那么，多字节的字是以怎样的顺序在内存里存储的呢？
两套系统，举个例子，
X有4个字节0x01234567，首地址为0x100
Little Endian: x86, ARM processors running Android, iOS, and Windows 低字节存在低位
Big Endian: Sun, PPC Mac, Internet 低字节存在高位
所以，1.调试时需要注意，2.跨系统时需要注意
string存储时则没有这个问题。因为string是有字符组成的，一个字符就是1字节，8位，以空字符结尾。
地址加1就是一个新的字符，不存在byte ordering的问题。
这节课主要讨论了整数的运算已经各数据类型在内存中的存在形式。下一节课将讨论浮点数。