浅谈Tarjan缩点（分析+模板）

昨天一看发现我的博客数量到100篇了，撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

根据标题我们也知道，想要在接下来的十分钟不浪费生命

读者需要先行学习Tarjan强联通分量

如果不会的话可以点击这里：https://www.cnblogs.com/WWHHTT/p/9744658.html

好的，现在我们就假设大家都知道了Tarjan，来看看如何利用Tarjan缩点

在学习如何写代码之前，我们必须要先弄明白什么是缩点

也就是定义

百度百科上并没有给出详细解释，我就来总结几句

缩点就是把一个有向图中的强联通分量转换成一个点

转换完之后的图是一个DAG（有向无环图）

通常用来解决图中具有传递性的问题（还有最大值和乘法原理）

我们来举个例子吧

上面这个图中，圆里的是编号，红色的是点的权值，箭头代表边的方向

这个图缩点之后是这样的

符号所表示的东西不变，原来的2,3,4变成了现在的2，原来的5是现在的3

是不是感觉没有多难，下面我来带大家看一下具体的实现流程

分为两步：

1.求出图中的强联同分量，并转化为点

2.将转化出来的新的点建成一个新的图

step1:

如何求出强联通分量就不多说了（不会的去看上面的链接）

每一种强联通分量会缩成一个点，这个店的编号我们就定为发现它的顺序，也就是染上的颜色

每一种颜色（一个强联通分量）对应一个点

但是要在中间加一个操作，用来计算一个联通分量的所缩成的点的点权（看注释）

void Tarjan(int x,int fa){
    low[x]=dfn[x]=++tot;
    sta[++size]=x;
    book[x]=1;
    for(int e=head1[x];e;e=nxt1[e]){
        if(!dfn[to1[e]]){
            Tarjan(to1[e],x);
            low[x]=min(low[x],low[to1[e]]);
        }
        else if(book[to1[e]]) low[x]=min(low[x],dfn[to1[e]]);
    }
    if(dfn[x]==low[x]){
        color[x]=++color_cnt;
        v2[color_cnt]=v[x];
        while(size&&sta[size]!=x){
            color[sta[--size]]=color_cnt;
            book[sta[size]]=0;
            v2[color_cnt]+=v[sta[size]];//这个点的权值的计算，根据题目来确定 
        }
        --size;
    }
    return ;
}

step2:
建图的边怎么练一直是个难点，首先可以确定的是因为原来的强连通分量已经变成一个个的点了

所以肯定无法照搬原图

但也不可能自创，所以需要判断，从原来的图上选择那些边

选边的原则是不能是一个强连通分量里的边

也就是说别的边都可以选

那么有的人就问了，缩完点之后不担心友谊重边吗

这很好处理，用邻接矩阵来存（不推荐），或者在之后的程序中标记都可以

特别提到，印的图要用一个新的邻接表来存

而且要连接的不是原来的点，而是两个点被染成的颜色

代码实现的话很简单，循环和dfs都可以，这里我们采用循环（代码量较小）

void change(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int e=head1[i];e;e=nxt1[e]){
            if(color[i]!=color[to1[e]]) add2(color[i],color[to1[e]]);
        }
    }
    return ;
}

那么最后我们来总结一下代码

先给一组数据：（对应上面的图）
5 5 //点的数量边的数量

1 1 1 1 1 //点权

1 2 //边

2 3

3 4

4 2

2 5

输出：

3 //新的点的数量

1 3 1 //新的点的权值

下面给出代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
inline int rd(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
inline void write(int x){
     if(x<0) putchar('-'),x=-x;
     if(x>9) write(x/10);
     putchar(x%10+'0');
     return ;
}
int n,m;
int v[100006];
int head1[100006],nxt1[100006],to1[100006];
int total1=0;
void add1(int x,int y){
    total1++;
    to1[total1]=y;
    nxt1[total1]=head1[x];
    head1[x]=total1;
    return ;
}
int dfn[100006],low[100006];
int color[100006];
int tot=0;
int color_cnt=0;
int book[100006];
int sta[100006];
int v2[100006];
int size=0;
void Tarjan(int x,int fa){//Tarjan模板 
    low[x]=dfn[x]=++tot;
    sta[++size]=x;
    book[x]=1;
    for(int e=head1[x];e;e=nxt1[e]){
        if(!dfn[to1[e]]){
            Tarjan(to1[e],x);
            low[x]=min(low[x],low[to1[e]]);
        }
        else if(book[to1[e]]) low[x]=min(low[x],dfn[to1[e]]);
    }
    if(dfn[x]==low[x]){
        color[x]=++color_cnt;
        v2[color_cnt]=v[x];
        while(size&&sta[size]!=x){
            color[sta[--size]]=color_cnt;
            book[sta[size]]=0;
            v2[color_cnt]+=v[sta[size]];//这个点的权值的计算，根据题目来确定 
        }
        --size;
    }
    return ;
}
int head2[100006],nxt2[100006],to2[100006];
int total2=0;
void add2(int x,int y){
    total2++;
    to2[total2]=y;
    nxt2[total2]=head2[x];
    head2[x]=total2;
    return ;
}
void change(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int e=head1[i];e;e=nxt1[e]){
            if(color[i]!=color[to1[e]]) add2(color[i],color[to1[e]]);//将两个点连边 
        }
    }
    return ;
}
int main(){
    n=rd(),m=rd();
    for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=rd();//得到点权 
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=rd(),y=rd();
        add1(x,y);//有向边 
    }
    Tarjan(1,0);
    change();
    printf("%d\n",color_cnt);
    for(int i=1;i<=color_cnt;i++){
        printf("%d ",v2[i]);
    }
    return 0;
}

浅谈Tarjan缩点（分析+模板）

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