Noip2018联训日记

莫当繁星,皆挂苍穹

10月16日

subsets

map+vector枚举每个子集， $O(2^{n})$ 到 $O(2^{2n})$ ，80分

折半枚举，左边 $3^{n/2}$ 枚举不选/第一组/第二组，然后计算第二组减第一组的差 $x$ ，map离散化 $x$ 为 $y$ ，将它们的的并存在 $vector[y]$ 中，后半段也如此 $3^{n/2}$ 枚举，与 $vector[map[x]]$ 中所有值取并，并打上标记，最后 $2^n$ 检查标记，由于map里每个差最多来自 $2^{n/2}$ 对，复杂度最坏为 $O(6^{n/2})$

swap

记忆化搜索， $O(n^{3})$ ，70分

有任意一个点的位置不变直接无解，否则就可以推断出一个数如何移动，以及在移动它的时候所需的方案的先后关系，若先后关系有矛盾也无解，不然问题就可以转化为一个大小为n-1的排列，某些地方限定了相邻两数的大小关系，求方案数，直接简单DP即可， $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数，第 $i$ 个数在前 $i$ 个数中是第 $j$ 小的，前缀和优化， $O(n^{2})$

moiezen

枚举 $x$ 再二分， $O(min(n,p)log(np))$ ，50分

每次加上的 $x$ 一定是一个 $p-a[i]$ 才最优，可以存下来然后去重，加上一个随机化，在枚举x的时候先去检查一下是否比目前的最优解要优，是才继续二分，由于一个随机排列中比前面所有数都大的数的数量期望为 $log$ ，所以复杂度为 $O(np+nlog(n)log(p))$

10月17日

dream

HK算法跑二分图匹配， $O(n^{2}\sqrt{n})$ ，70分

将点从小到大排序，线段按左端点从小到大排序，维护一个可重集，枚举每个点，将左端点小于其的线段的右端点全部加入可重集，将比它小的右端点全部删掉，然后选取最近的右端点， $O(nlog(n))$

toy

DFS，枚举每个球接在哪一个上面， $O(n!)$ ，30分

DP， $f[i][j]$ 表示一棵 $i$ 个结点的带标号树深度不超过 $j$ 的方案数， $g[i][j]$ 表示一个 $i$ 个结点的带标号森林深度不超过 $j$ 的方案数

一个森林所有树的顶端连起来就是一棵新的树，并且深度增加1，即 $f[i][j]=g[i-1][j-1]$

一个森林加上一棵树还是一个森林，枚举最后面添加的树的大小k，注意到直接转移会造成重复，所以每次转移的时候要保证最小的点在新加入的树里面，即硬点一个点， $g[i][j]=\sum_{k=1}^{i}g[i-k][j]*f[k][j]*C(i-1,k-1)$

$Ans=(\sum_{i=1}^{n-1}(f[n][i]-f[n][i-1])*i)/(n-1)!$ ， $O(n^2)$

icekingdom

每次询问扫一遍， $O(n^2)$ ，50分

每次询问 $[l,r]$ 时，若其中一条边都没有，那么就会有 $r-l+1$ 个联通块，每当有一条边连接的两个点在 $[l,r]$ 之间，就会减少一个联通块，所以每次询问答案为 $r-l+1-(俩端点在[l,r]之间的边的数量)$ ，可以离线下来用树状数组，也可以在线可持久化线段树， $O(qlog(n))$

10月18日

cdq

CDQ分治， $O(nlog^2n)$ ，36分

分别以 $ab/ac/bc$ 求三次二维偏序并全部加起来，这个可以随便做，对于每一对 $(i,j)$ ，称 $i$ 大于 $j$ 为 $i$ 至少在两个维度上大于 $j$ ，比如( $a[i]>a[j]$ 且 $b[i]>b[j]$ 且 $c[i]<c[j]$ )或( $a[i]>a[j]$ 且 $b[i]>b[j]$ 且> $c[i]>c[j]$ )，前者在计算二维偏序时会被算一遍，后者在计算二维偏序时会被算三遍，且它们的和为 $C(n,2)$ ，我们要计算后者的数量，所以 $Ans=(px(a,b)+px(a,c)+px(b,c)-C(n,2))/2$ ， $O(nlog(n))$

来源

easy

暴力枚举选哪些数， $O(q2^n)$ ，15分

先将 $[g,l]$ 里是 $g$ 的倍数又是 $l$ 的约数的数处理处理，不超过800个，最多8个质因数(后文一直假设有8个质因数)

选出的集合里的数必须满足每个质因数出现次数大于 $g$ 小于 $l$ ，且至少有一个顶上界/抵下界，所以状压DP， $f[i][j]$ 表示选到第 $i$ 个，质因数顶上界的状态和抵下届的状态为 $j(0\leq j<2^{16})$ 的方案数，枚举每个 $i$ 和 $j$ 以及是否选择这个数来转移

现在要硬点某个数 $i$ 必须选，可以正着一遍DP再反着DP $(f2[i][j])$ ，计算不包含 $i$ 时的方案数，枚举 $i$ 前面的状态 $j$ ，其贡献为 $\sum_{k=0}^{2^{16}}[j \ or \ k=2^{16}]f[i-1][j]*f2[i+1][k]$ ，于是就可以可以 $O(1)$ 回答，总复杂度 $O(Accept)$

来源or代码

hard

无输出， $O(1)$ ，0分

不会，可参考官方题解

10月19日

错误整理

淡看人间,森罗万象