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前置知识：广义欧拉定理。
当 $b\ge\phi(p)$ 时：
$a^b\equiv a^{b\bmod\phi(p)+\phi(p)}(\bmod p)$
而题目中的修改：
$c^{c^{c^{...^{a_i}}}}$
实际上是：
$c^{c^{c^{...^{a_i}}}\bmod\phi(p)+\phi(p)}=c^{c^{c^{...^{a_i}}\bmod\phi(\phi(p))+\phi(\phi(p))}\bmod\phi(p)+\phi(p)}$
由于 $p$ 不断地变成 $\phi(p)$ 之多 $O(\log p)$ 次后会变成 $1$ ，
所以一个位置最多被修改 $O(\log p)$ 之后就不会变。
所以，我们用线段树维护区间和以及区间内所有位置被修改的最少次数，
修改时遍历到叶子节点，如果遍历到一个节点，这个节点被修改的次数达到了上限，就 return 掉。
这样，每个叶子节点到根的路径最多被修改 $O(\log p)$ 次。
我们需要对于每个 $a_i$ 和 $j$ ，预处理出：
$F(p,a_i,j)=c^{c^{c^{...^{a_i}}}}\bmod p$
（共 $j$ 个 $c$ ）
根据广义欧拉定理，上式等于：
$c^{F(\phi(p),a_i,j-1)+\phi(p)}$
递归求解。
注意两个细节：
（1） $c$ 的幂。注意到指数最多只有 $2\times10^8$ ，所以可以预处理出 $c^0$ ， $c^1$ ，一直到 $c^{2\times 10^4-1}$ 的值，然后再处理 $c^{2\times 10^4}$ ， $(c^{2\times 10^4})^2$ ， $(c^{2\times 10^4})^3$ ， …… 的值，则：
$c^x=(c^{2\times 10^4})^{\lfloor\frac{x}{2\times10^4}\rfloor}\times c^{x\bmod (2\times10^4)}$
（2）注意当指数小于 $\phi(p)$ 则降幂时不能加上 $\phi(p)$ 。
复杂度 $O(n(\log n\log p+\log^2p))$ 。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define p2 p << 1
#define p3 p << 1 | 1
using namespace std;

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

template <class T>
void Swap(T &a, T &b) {a ^= b; b ^= a; a ^= b;}

template <class T>
T Min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}

const int N = 5e4 + 5, M = N << 2, E = 104, ORZ = 2e4, L = 2e4 + 5;
int n, m, ZZQ, c, a[N], tot, PYZ[N], p[N], q[N], sum[M], cnt[M],
f[N][E], g[E][L], h[E][L];
bool ig[E][L], ih[E][L], Flag;

int phi(int n)
{
	int i, j, S = sqrt(n), tot = 0, res = 1;
	For (i, 2, S)
	{
		if (n % i) continue;
		p[++tot] = i; q[tot] = 0;
		while (n % i == 0) q[tot]++, n /= i;
	}
	if (n > 1) p[++tot] = n, q[tot] = 1;
	For (i, 1, tot)
	{
		res *= p[i] - 1;
		For (j, 1, q[i] - 1) res *= p[i];
	}
	return res;
}

int powx(int x, int p)
{
	return 1ll * h[x][p / ORZ] * g[x][p % ORZ] % PYZ[x];
}

bool chk(int x, int p)
{
	return ih[x][p / ORZ] || ig[x][p % ORZ]
		|| 1ll * h[x][p / ORZ] * g[x][p % ORZ] >= PYZ[x];
}

int F(int x, int a, int p)
{
	if (!x) return Flag = p || a, 0;
	if (!p) return Flag = a >= PYZ[x], a % PYZ[x];
	int tmp = F(x - 1, a, p - 1), res;
	if (Flag) res = powx(x, tmp + PYZ[x - 1]);
	else res = powx(x, tmp);
	return Flag = c == 1 ? PYZ[x] == 1 :
		Flag || chk(x, tmp), res;
}

void build(int l, int r, int p)
{
	if (l == r) return (void) (sum[p] = a[l]);
	int mid = l + r >> 1;
	build(l, mid, p2); build(mid + 1, r, p3);
	sum[p] = (sum[p2] + sum[p3]) % ZZQ;
}

void upt(int p)
{
	sum[p] = (sum[p2] + sum[p3]) % ZZQ;
	cnt[p] = Min(cnt[p2], cnt[p3]);
}

void change(int l, int r, int s, int e, int p)
{
	if (cnt[p] >= tot + 2) return;
	if (l == r) return (void) (sum[p] = f[l][++cnt[p]]);
	int mid = l + r >> 1;
	if (e <= mid) change(l, mid, s, e, p2);
	else if (s >= mid + 1) change(mid + 1, r, s, e, p3);
	else change(l, mid, s, mid, p2),
		change(mid + 1, r, mid + 1, e, p3);
	upt(p);
}

int ask(int l, int r, int s, int e, int p)
{
	if (l == s && r == e) return sum[p];
	int mid = l + r >> 1;
	if (e <= mid) return ask(l, mid, s, e, p2);
	else if (s >= mid + 1) return ask(mid + 1, r, s, e, p3);
	else return (ask(l, mid, s, mid, p2)
		+ ask(mid + 1, r, mid + 1, e, p3)) % ZZQ;
}

int main()
{
	int i, j, p, op, l, r;
	n = read(); m = read(); p = ZZQ = read(); c = read();
	For (i, 1, n) a[i] = read();
	PYZ[tot = 0] = ZZQ;
	while (p > 1) p = PYZ[++tot] = phi(p);
	For (i, 0, tot >> 1)
		if (i != tot - i) Swap(PYZ[i], PYZ[tot - i]);
	For (i, 0, tot)
	{
		g[i][0] = h[i][0] = 1 % PYZ[i];
		ig[i][0] = ih[i][0] = PYZ[i] == 1;
		For (j, 1, ORZ)
			g[i][j] = 1ll * g[i][j - 1] * c % PYZ[i],
			ig[i][j] = ig[i][j - 1] || 1ll * g[i][j - 1] * c >= PYZ[i];
		For (j, 1, ORZ)
			h[i][j] = 1ll * h[i][j - 1] * g[i][ORZ] % PYZ[i],
			ih[i][j] = ih[i][j - 1] || ig[i][ORZ] ||
				1ll * h[i][j - 1] * g[i][ORZ] >= PYZ[i];
	}
	For (i, 1, n) For (j, 0, tot + 2)
		f[i][j] = F(tot, a[i], j);
	build(1, n, 1);
	while (m--)
	{
		op = read(); l = read(); r = read();
		if (op == 0) change(1, n, l, r, 1);
		else printf("%d\n", ask(1, n, l, r, 1));
	}
	return 0;
}

[BZOJ4869][Shoi2017]相逢是问候（广义欧拉定理+线段树）

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