2-4、拟合

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一、简介

  在科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。给定函数的实验数据，需要用比较简单和合适的函数来逼近（拟合）实验数据。

  曲线拟合问题的数学描述如下：
  已知一组（二维）互不相同的数据 $( x_i , y_i ),i = 1,2,...,n$
  寻求一个函数（曲线） $y = f (x)$，使 $f (x)$ 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。

  实际中我们常采用最小二乘法作为上文提到的“某种准则”。

  本文主要介绍线性与非线性最小二乘拟合的基本概念与求解方法，其他相关数学原理可结合线性代数知识参考书本介绍，在此不赘述。

二、最小二乘拟合

  最小二乘拟合分为线性最小二乘拟合和非线性最小二乘拟合。

1、 线性最小二乘拟合

(1) 数学原理

  线性最小二乘拟合是解决曲线拟合问题最常用的方法，基本思路是：

  第一步: 先选定一组函数

$r_1(x), r_2(x), …r_m(x), m<n$
  令
$f(x)=a_1r_1(x)+a_2r_2(x)+ …+a_mr_m(x)$
(其中 $a_1,a_2, …,a_m$ 为待定系数)

  第二步: 确定用来确定待定系数 $a1,a2, … ,am$ 的准则。如这里我们选取最小二乘准则作为确定待定系数的准则。

  最小二乘法：使 $n$ 个点 $(x_i,y_i)$ 与曲线 $y=f(x)$ 的距离的平方和最小。 即：记

$$J(a_1,a_2,…,a_m)=\sum_{i=1}^n\delta_i^2=\sum_{i=1}^n[f(x_i)-y_i]^2\\=\sum_{i=1}^n[\sum_{k=1}^ma_kr_k(x_i)-y_i]^2$$

  寻找系数 $a_1,a_2, …a_m$ 使 $J(a_1,a_2, …a_m)$ 最小。

(2)求解方法

  matlab中已有封装好的函数，用以求解满足上述要求的系数。

a=polyfit(x,y,m)

其中，$a$ 为拟合多项式系数，$x,y$ 为输入同长度的数组，$m$ 为拟合多项式次数。

2、 非线性最小二乘拟合

（1）数学原理

  非线性最小二乘拟合基本方法与线性最小二乘拟合相同，差别在于非线性最小二乘拟合的拟合函数 $f(x)$ 为 $x$ 的任意非线性函数。

（2）求解方法

  用matlab求非线性最小二乘拟合的两个函数为：lsqcurvefit、lsqnonlin，可参考matlab中自带的help文档中的用法。（文末例题中有例子）

三、例题

1、对下面数据作二次多项式拟合

I	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
X_i	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
Y_i	0.447	1.978	3.28	6.16	7.08	7.34	7.66	9.56	9.48	9.30	11.2

解法一：

% 解超定方程的方法
x=0:0.1:1;
y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2];
R=[(x.^2)', x', ones(11,1)];
A=R\y'

解法二：

%用多项式拟合的命令
x=0:0.1:1;
y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2];
A=polyfit(x,y,2)
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r')

拟合结果图像：

2、用下面一组数据拟合$c(t)=a+be^{-0.02kt}$ 中的参数$a,b,k$

Tj	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000
Cj*0.001	4.54	4.99	5.35	5.65	5.90	6.10	6.26	6.39	6.50	6.59

分析：该问题即求解最优化问题：

$$min(\frac 1 2F(a,b,k))=\frac 1 2 \sum_{j=1}^{10}[a+be^{-0.02kt_j}-c_j]^2$$

解法一：用函数lsqcurvefit

解法二：用函数lsqnonlin

注：两个命令都要先建立M文件定义函数f(x)，但定义f(x)的方式不同。