这篇文章主要的目的是在降低空间维度的同时，能较好的保持内部固定的局部结构，并且它对异化值（通常理解为错误的点，或者为污点）不敏感，这一点可以与主成分分析法（PCA）相区别。
对于高维的空间（x1,x2,x3、、、,xn）——属于S维空间，一般而言，我们需要选择一个降维矩阵A对X进行降维从而得到Y，其中Y=(y1,y2、、、,yn)——属于L维空间，其中L<<S，其表达式如下所示：
不多说，直接进入主题——
- 首先目标函数定义为 :
其中yi与yj代表降维之后的点，Wij是权重矩阵；
通过最小化上述目标函数，便达到降维目的。大家可以先好好想为什么要这样设置（后面将进行讲解），为了便于计算结果，将（1）转化为矩阵形式如下所示：
为了防止过拟合的现象（大家可以试想如果全部溶缩为一个点，那么结果则为0），于是给定一个限制：
则原公式可简化为：
- 接下来我们就开始解答这个目标函数，其算法的步骤为：
step one :Constructing the adjacency graph
a:ᵋ-neighboorhoods.
可以设想为一个半径为ᵋ圆的面积内刚好有K个点，但是由于ᵋ 一般难以确定，故经常选择第二种方法,而原文采用的也是下面一种.
b.k nearest nighbors. 依次选取，一直到寻找到第k个近的点的集合构成邻接图.
step two :Choosing the Weights
a.Heat kernel.
注：其中Xi与Xj代表原始空间的点，t为自定义.权重的设定与目标函数有很大的关系，他们相互限制，相互约束，从而达到保持原空间结构的目的。
b.Simple-minded.
Wij=1 if and only if vertices i and j are connect by an edge.
step three :Eigenmaps(计算特征值与特征向量)
XLX'a=λXDX'a
此函数大家可以根据已知条件试着推导，注意求特征向量的公式为|aE-A|=0.
(including Dii=EWij——其中矩阵D的对角线元素为矩阵W每一列或者每一行的和,L=D-W is the laplacian matrix.The ith column of matrix X is xi)
对eigenvalues进行从小到大排序，选取前l小的特征值的特征向量构成的矩阵A,最后可得
x-->y=A'x, A=(a0,a1,...,al-1)
其中A为降维矩阵.
在总结中大家如发现有错误，或者不理解的，可以相互讨论讨论哈。
参考：He X. Locality preserving projections[J]. Advances in Neural Information Processing Systems, 2003, 16(1):186-197.