----坦诚来讲,我国的数学教育的教学内容范围划分的还是不错的,先抛开现实问题不谈,我认为人们的数学学习,在小学和初中可以分为一个阶段,高中和大学又可以分为另一个阶段.
----初中小学九年的时间,主要是建立对数学的基本认知,还有培养学习兴趣为主,而高中大学阶段,则主要学习更高级的技术,高中学习传统的初等数学部分,而到大学学习微积分出现之后的高等数学部分.
----如果单单从内容划分方面来看,我国的数学教育单单内容划分部分还算是非常不错的,而实际上,现实教育实行却出现了非常严重的问题,中国教育体制对人们往往造成了很多负面的影响,具体在这里并不详谈.
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----这里讲一讲数学的学习和教学体系,这样大家也能够从中理解怎样学习数学会更好.
----首先数学的学习体系可以分为三部分,一部分是入门部分,第二部分是基本数学,第三部分就是高级技术了,那么这三部分又是怎样划分的呢
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入门部分
----首先我们小学的时候学的基本加减乘除,数数,乃至扩展的几何,平面几何,立体几何, 可以分到入门的部分,其次是代数,代数在数学中本质是比较复杂的,但是考虑到基本数学中有大量的代数,所以也可以考虑作为入门部分的扩展,以免到时候把这东西当成了玄之又玄的新玩意,当然缺点是一开始就接触的代数当然比较多漏洞,或者说会让学生在概念性上产生理解错误
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----这种概念性错误并不是天朝教育独有的,而是说很多国家都是这样,美国的数学教育尤甚,所以说很多时候数学会冒出一些奇奇怪怪的结论,例如1+2+3+…=-1/12.
----这些结论并不是说启发了高深莫测的真理,而是因为人们对基本的概念理解上有偏差,所以说有些时候代数代错了,搞错了定义域之类的东西,所以说有时就会得出一些奇奇怪怪的结论.
----所以整体来讲把代数列入入门部分虽说可以让人们更熟悉,但是也给广大吃瓜群众造成了负面影响,想要把这些常见错误纠正过来,只有对数学有兴趣并且学习到较多东西之后积极思考才能得到独到见解,解决这些困惑.但是当然显然并不是所有人都有机会和能力走到这一步的.
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入门部分其实对应的就是小学和初中教育,其实这个部分我们国家的教育内容划分的比较不错,例如说范围在一元二次内而涉及一元三次,几何上粗略推理,计算水平也合乎情理.
基本数学
那么什么算作基本数学呢,这个基本其实意思是基本的规则和应用,内容当然包括了从高中到大学的内容,可以分两类,其一是在微积分发明之前的数学,其二是微积分以及微积分之后的各种新型技术,这里不得不说很久以前希腊有个叫欧几里得(公元前330年-公元前275年)的,写了本影响深远的书叫<几何原本>.西方数学体系基本是由这一体系延伸出来的,后来到了几百年前,英国的牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)写了一本<自然哲学的数学原理>,发展出了更高级的数学方法(微积分),于是微积分和高等代数.现代几何.概率和其延伸物就成了高等数学的部分,而微积分之前的欧几里得的基本数学体系部分属于初等数学.也就是说基本数学是由初等数学和高等数学组成的.
从这里开始其实中国的提纲划分就出问题了,高中的数学教材第一部分就是集合论,我是说这不应该这样,至少集合应当放在高中数学内容靠后部分略涉阅读,而初等数学的教育当务之急是先建立更严格完善的基本数学规范,然后是计算,几何,代数.最后才是拓展涉猎集合,函数论,数列概率组合微积分这些额外技术.
初等数学部分
也就是说现在我们高中的时候数学的学习循序有问题,我们理应在这个阶段首先学习更严格的计算和几何规范,但是呢中国的教育认为这些在小学初中的时候就已经做了,事实上呢是没有做,或者说我们的大部分人没有接受本应更好的初等数学教育,
------了弥补这个问题,如果有较多兴趣的可以去读一本初等数学的相关著作,<高观点下的初等数学>其实还不错(其实翻译应该为<深入理解初等数学>)
-----而对于大部分忙碌的人,或者已经在较高平台上工作的人,大部分都没这个心情或者条件去复习,就好像接受了糟糕的外语教育之后不会想去再看看国外的青少年读物.这也是没问题的,只要你的数学过得去,可以在更高深的数学教学中学习到良好的基础内容
-----而对于数学比较差,时间又不甚充裕的,如果想要复习初等数学,则可以学习国内梁绍鸿先生的<初等数学复习及研究:平面几何>这本书包括了国内初等数学中所欠缺的最主要的一部分知识.在校学生也可以自行阅读(前提是得有时间和兴趣)
这里推荐这些读物并不是让大家把这两本书都学,而是说根据自己的情况选择适合的一本会更好,对于大部分并没有蒙受国家教育青睐的人(包括我)来讲更加推荐梁绍鸿先生的<初等数学复习及研究>而不是Felix的<高观点初等数学>
然后是原著,也就是<几何原本>和<自然哲学的数学原理>并不太适合大部分人的条件,如果你希望成为一名专门的数学工作者,有宽裕的学习条件,则可以来阅读学习这些书籍.
高等数学部分
关于高等数学部分,则包括了微积分和微积分延伸出来的各种技术(数学分析,函数集合论),以及代数学,现代几何等.
对于高等数学的具体内容有不同的看法,有的认为仅包括了微积分和代数学,而有的则认为是比初等数学复杂的部分都可以当成高等数学.
China大学教学由于现代几何过于专业所以一般来讲并没有现代几何的部分,添加了概率统计学.(电子系的还有离散数学)
高等数学学习路线的探讨
我个人认为高等数学应当包括初等数论,微积分,代数学.
是的,我也觉得现代几何学过难,所以不应该列入到必读之路上(除非你条件比较充裕),另外概率统计学虽然可以作为"凑份"的内容列入到必修课当中,但是我觉得并不能当成是必须的一部分看待.而相应的,初等数论我个人认为对体系化学习高等数学很重要,对于基础还行的朋友,可以首先学习<初等数论及其应用>这本书,而基础不太好的则可以在学完微积分和代数学之后来学习这本书.
初等数论在某些人看来比现代几何学要困难,而实际上如果你是一个对数学有兴趣的同学,那大多会对其内容感兴趣,从而大大降低学习难度,而现代几何则未必…
至于被排除掉的现代几何学,如果你看完了之前的那本<初等数学复习及研究>或者<高观点下的初等数学>,想必会有足够的基础去学习现代几何.
无论是微积分也好,代数学也好,现代几何也好,有一套俄罗斯的教材都很适合去学习.但是我们先熟悉一下教材的区别
微积分内容的教材有三个等级,高等数学,微积分,数学分析.
大概来讲就是:
高等数学: 包括微积分,线性代数在内的主要高等数学内容,主要以微积分为主
微积分教程: 主要讲的是微积分的各方各面
数学分析: 微积分的原理和延伸
微积分内容的相关教材根据深度和内容丶范围被分为了这三种等级:
.一般来讲高等数学为名的教材讲的微积分部分内容最简单,但往往对微积分原理部分涉及不足
.而微积分为名的教材则重点于微积分本身
.而数学分析,则着重于微积分的原理和延伸内容
这三者之间的难度往往认为是数学分析最难而高等数学最简单,实际上这些名字和书本的难度并没有必然联系,
具体要看作者或是译者想法
国内教材往往使用高等数学作为教材,但确实有点半斤八两的感觉,而一些数学专长的学院,理工学生有时候会用的是微积分教程,也就是把微积分作为重点独立出来讲解.但是还是让人觉得有点不上不下,所以说不如一步到位,直接学数学分析吧.
至于相关的教材,如果你按照了之前的建议,先阅读了<初等数学:平面>和<初等数论及其应用>,则可以看国内张筑生所写的<数学分析新讲>① .(推荐)
对于大部分新手(包括学了忘了的)可以考虑俄罗斯的菲赫金哥尔茨的<微积分学教程>②.(推荐)
如果你是首次学习高等数学,而且之前看了<高观点下的初等数学>,那么有一本 <微积分和数学分析引论>(可推荐) ③可能会适合你
此外,国内外还有许多优秀的著作,俄罗斯菲赫金哥尔茨的<数学分析原理>④可以视作②的精简版,可能也适合学了忘的人学习,美国Rudin出过一本同名的<数学分析原理>⑤则可能适合快速复习.
而观之国内的分析教材,我所知出名的有梅加强的<数学分析讲义>,和徐森林<数学分析>,陈天权<数学分析讲义>,事实上国内的教材不比国外的差,基本都是作者付出了很多的著作,而且考虑翻译要素语言上会比国外的著作更容易接受
其中 梅加强的<数学分析讲义>(可推荐) 比较精简,而且风格和学校一般教材接近,所以说可能会更适合有老师教
徐森林的<数学分析>(可推荐) 更倾向于有计算意义的内容,个人认为更适合学了国内<高等数学>之后拓展学习.
而陈天权的<数学分析讲义>这跟张筑生的<数学分析新讲>①较为相似,只是更加新手不友好,不过据说观点更新.
国内外还有一些或许更有"实用性质"的书籍,比如说国外的<普林斯微积分读本>曾略翻几页风格我个人不太喜欢,还有[俄]卓里奇 的<数学分析>可能难度过高.这些书籍比较著名,但是个人认为用一本国内的教材或者俄国的<微积分学教程>就好
教材选择方面没必要选择太难的,张筑生的<数学分析新讲>和菲赫金哥尔茨的<微积分学教材>都比较简单(当然后者开头不太友好)而且内容不错.只要学的时候专注就行,建议根据情况选择其中一本.并不需要都拿来看(当然你有钱可以买来挑选,不要的可以送人)
(未完待续)