[Luogu P1600] [BZOJ 4719] [NOIP 2016 tg]天天爱跑步

洛谷传送门

BZOJ传送门

题目描述

小c同学认为跑步非常有趣,于是决定制作一款叫做《天天爱跑步》的游戏。《天天爱跑步》是一个养成类游戏,需要玩家每天按时上线,完成打卡任务。

这个游戏的地图可以看作一一棵包含 $n$ 个结点和 $n-1$ 条边的树, 每条边连接两个结点,且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从 $1$ 到 $n$ 的连续正整数。

现在有 $m$ 个玩家,第 $i$ 个玩家的起点为 $S_i$ ,终点为 $T_i$ 。每天打卡任务开始时,所有玩家在第 $0$ 秒同时从自己的起点出发, 以每秒跑一条边的速度, 不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去, 跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。 (由于地图是一棵树, 所以每个人的路径是唯一的)

小c想知道游戏的活跃度, 所以在每个结点上都放置了一个观察员。在结点jj的观察员会选择在第 $W_j$ 秒观察玩家, 一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第 $W_j$ 秒也理到达了结点 $j$ 。小C想知道每个观察员会观察到多少人?

注意: 我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏, 他不能等待一段时间后再被观察员观察到。即对于把结点 $j$ 作为终点的玩家: 若他在第 $W_j$ 秒前到达终点,则在结点 $j$ 的观察员不能观察到该玩家;若他正好在第 $W_j$ 秒到达终点,则在结点 $j$ 的观察员可以观察到这个玩家。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数 $n$ 和 $m$ 。其中 $n$ 代表树的结点数量, 同时也是观察员的数量, $m$ 代表玩家的数量。

接下来 $n- 1$ 行每行两个整数 $u$ 和 $v$ ,表示结点 $u$ 到结点 $v$ 有一条边。

接下来一行 $n$ 个整数,其中第 $j$ 个整数为 $W_j$ , 表示结点 $j$ 出现观察员的时间。

接下来 $m$ 行,每行两个整数 $S_i$ ,和 $T_i$ ,表示一个玩家的起点和终点。

对于所有的数据,保证 $1\leq S_i,T_i\leq n, 0\leq W_j\leq n$ 。

输出格式：

输出 $1$ 行 $n$ 个整数,第 $j$ 个整数表示结点 $j$ 的观察员可以观察到多少人。

输入输出样例

输入样例#1：

6 3
2 3
1 2 
1 4 
4 5 
4 6 
0 2 5 1 2 3 
1 5 
1 3 
2 6

输出样例#1：

2 0 0 1 1 1

输入样例#2：

输出样例#2：

1 2 1 0 1

说明

【样例1说明】

对于 $1$ 号点， $W_i=0$ ，故只有起点为 $1$ 号点的玩家才会被观察到，所以玩家 $1$ 和玩家 $2$ 被观察到，共有 $2$ 人被观察到。

对于 $2$ 号点，没有玩家在第 $2$ 秒时在此结点，共 $0$ 人被观察到。

对于 $3$ 号点，没有玩家在第 $5$ 秒时在此结点，共 $0$ 人被观察到。

对于 $4$ 号点，玩家 $1$ 被观察到，共 $1$ 人被观察到。

对于 $5$ 号点，玩家 $1$ 被观察到，共 $1$ 人被观察到。

对于 $6$ 号点，玩家 $3$ 被观察到，共 $1$ 人被观察到。

【子任务】

每个测试点的数据规模及特点如下表所示。提示: 数据范围的个位上的数字可以帮助判断是哪一种数据类型。

解题分析

其实 $u$ 为 $1$ 和 $v$ 为 $1$ 的部分分是在给我们提示：一条 $u\to v$ 的路径上可以分成两部分： $u\to lca(u, v),\ \ lca(u,v)\to v$ 。

前半部分情况路径上的点 $x$ 可以获得 $1$ 的贡献当且仅当 $dep[x]+W[x]=dep[u]$ ，而 $dep[x]+W[x]$ 是一个定值，我们 $DFS$ 的时候记录一下子树中符合要求的点的个数就好了。

后半部分情况路径上的点 $x$ 可以获得 $1$ 的贡献当且仅当 $dep[x]+dep[u]-2*dep[lca(u,v)]=W[x]$ ，而 $W[x]-dep[x]$ 是一个定值，同样我们记录一下就好了。注意这个值可能是负数，所以记录的时候统一 $+300000$

然而还可能出现这个路径并不过 $x$ 的情况，所以我们分别在 $u$ 和 $v$ 打上 $+1$ 的标记，在两种情况的 $fat[lca(u,v)]$ 打上上 $-1$ 的标记， $DFS$ 到的时候记录一下上面的满足要求的个数，最后子树 $DFS$ 完成的时候作差即可。

有两种特殊情况：

$lca(u,v)=u$ 或 $lca(u,v)=v$ ，这时我们只取上面的一种情况即可。
$dep[lca(u,v)]+W[lca(u,v)]=dep[u]$ ，这时我们相当于多算了一次这条路径的贡献， $-1$ 即可。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 600500
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
int dep[MX], fat[MX], son[MX], siz[MX], head[MX], topf[MX];
int from[MX], to[MX], lca[MX], tim[MX], ans[MX], cntup[MX], cntdown[MX];
int dot, line, cnt;
struct Edge {int to, nex;} edge[MX << 1];
struct INFO {int tar, val;};
std::vector<INFO> up[MX], down[MX];
IN void add(R int fr, R int to) {edge[++cnt] = {to, head[fr]}, head[fr] = cnt;}
void DFS(R int now)
{
	siz[now] = 1;
	for (R int i = head[now]; i; i = edge[i].nex)
	{
		if(edge[i].to == fat[now]) continue;
		fat[edge[i].to] = now;
		dep[edge[i].to] = dep[now] + 1;
		DFS(edge[i].to);
		siz[now] += siz[edge[i].to];
		if(siz[edge[i].to] > siz[son[now]]) son[now] = edge[i].to;
	}
}
void DFS(R int now, R int grand)
{
	topf[now] = grand;
	if(!son[now]) return;
	DFS(son[now], grand);
	for (R int i = head[now]; i; i = edge[i].nex)
	{
		if(edge[i].to == fat[now] || edge[i].to == son[now]) continue;
		DFS(edge[i].to, edge[i].to);
	}
}
IN int get(R int x, R int y)
{
	W (topf[x] != topf[y])
	{
		if(dep[topf[x]] < dep[topf[y]]) std::swap(x, y);
		x = fat[topf[x]];
	}
	return dep[x] < dep[y] ? x : y;
}
void calc(R int now, R int u, R int d)
{
	for (R int i = up[now].size() - 1; ~i; --i)
	cntup[up[now][i].tar + 300000] += up[now][i].val;
	for (R int i = down[now].size() - 1; ~i; --i)
	cntdown[down[now][i].tar + 300000] += down[now][i].val;
	for (R int i = head[now]; i; i = edge[i].nex)
	{
		if(edge[i].to == fat[now]) continue;
		calc(edge[i].to, cntup[dep[edge[i].to] + tim[edge[i].to] + 300000], cntdown[tim[edge[i].to] - dep[edge[i].to] + 300000]);
	}
	ans[now] += cntup[dep[now] + tim[now] + 300000] + cntdown[tim[now] - dep[now] + 300000] - u - d;
}
int main(void)
{
	int a, b, c;
	in(dot), in(line);
	for (R int i = 1; i < dot; ++i) in(a), in(b), add(a, b), add(b, a);
	for (R int i = 1; i <= dot; ++i) in(tim[i]);
	DFS(1), DFS(1, 1);
	for (R int i = 1; i <= line; ++i)
	{
		in(from[i]), in(to[i]); lca[i] = get(from[i], to[i]);
		if(lca[i] == to[i])
		{
			up[fat[lca[i]]].push_back({dep[from[i]], -1});
			up[from[i]].push_back({dep[from[i]], 1});
		}
		else if(lca[i] == from[i])
		{
			down[fat[lca[i]]].push_back({dep[from[i]] - (dep[lca[i]] << 1), -1});
			down[to[i]].push_back({dep[from[i]] - (dep[lca[i]] << 1), 1});
		}
		else
		{
			if(tim[lca[i]] + dep[lca[i]] == dep[from[i]]) --ans[lca[i]];
			up[from[i]].push_back({dep[from[i]], 1});
			up[fat[lca[i]]].push_back({dep[from[i]], -1});
			down[fat[lca[i]]].push_back({dep[from[i]] - (dep[lca[i]] << 1), -1});
			down[to[i]].push_back({dep[from[i]] - (dep[lca[i]] << 1), 1});
		}
	}
	calc(1, 0, 0);
	for (R int i = 1; i <= dot; ++i) printf("%d ", ans[i]);
}