多种姿势求解最长上升子序列（LIS）

问题描述

LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升（不下降）子序列。
数组A包含N个字符（可能包含相同的值）。设S为A的子序列且S中的元素是递增的，则S为A的递增子序列。如果S的长度是所有递增子序列中最长的，则称S为A的最长递增子序列（LIS）。
例如A为：{1 3 2 0 4}，1 3 4，1 2 4均为A的LIS。

问题分析与求解

###o( $n^2$ )时间复杂度
$\qquad$ LIS作为一个经典的动态规划的例子，可是使用通用的动态规划的解题思路，于是o(n^2)的算法就很容易可以实现，博主这边使用的是$\textbf{“记忆化搜索”} $的方法，即保存重叠的子问题，也就是用数组$ a$保存。具体思路如下：
$\qquad$ 在动态规划问题中，我们应该先解决三个问题，第一个是最优子结构（也就是解状态），第二个是重叠子问题的处理，第三个是子问题合并成解。
$\qquad$ 本例中最优子结构的描述应为：对于给定字符串 $S[0...n]$ 中， $S[i]$ 表示S第 $i$ 个字符。这里设解空间为 $a[0...n]$ ，a[i]表示S的以S[i]为结束字符的LIS的个数。
$\qquad$ 重叠子问题：在求 $S[0...i]$ 的LIS（即a[i]）时，应该先求出 $a[0],a[1]...a[i-1]$ ，也就是说，在求a[n]过程中，我们重复求解了 $a[0],a[1]...a[i-n]$ ,致使求解效率下降，这里利用$\textbf{“记忆化搜索”} $就能很好的解决这一问题。
$\qquad$ 子问题合并：从 $a[0],a[1]...a[i-1]$ 求解 $a[i]$ 的过程，就是遍历 $a[0..m...i-1]$ 找到 $S[i] >= S[m]$ 条件下使得a[i]最大，这样就合并了子问题，求得的最优解

###o( $n^2$ )代码实现
语言： c++
IDE : CodeBlocks 16.01

只求了LIS个数

int LIS1(string s)
{
   int sLen = s.length();
   int a[100] = {1};
   for(int i = 0;i < 100;i ++) a[i] = 1;
   for(int i = 0;i < sLen;i ++){
       for(int j = 0;j < i;j ++){
           if(s[j] <= s[i] && a[j] >= a[i]){
               a[i] = a[j] + 1;
           }
       }
   }
   return a[s.length() - 1];
}

求了个数并增加了一个LIS解的输出

string LIS1(string s)
{
    int sLen = s.length();
    int a[100][2];
    for(int i = 0;i < 100;i ++){
        a[i][0] = 1;
        a[i][1] = -1;
    }
    for(int i = 0;i < sLen;i ++){
        for(int j = 0;j < i;j ++){
            if(s[j] <= s[i] && a[j][0] >= a[i][0]){
                a[i][0] = a[j][0] + 1;
                a[i][1] = j;
            }
        }
    }
    int lMax = 0;
    for(int i = 0;i < 100;i ++){
        if(a[i][0] >= a[lMax][0]) lMax = i;
    }
    string res = "";
    while(a[lMax][0] != 1){
        res += s[lMax];
        lMax = a[lMax][1];
    }
    res += s[lMax];
    reverse(res.begin(),res.end());
    return res;
}

###o( $nlogn$ )时间复杂度
$\qquad$ 本例很巧妙的利用了stack[0…n],不过这里需要指出的是 $stack[i]$ 表示长度为 $i+1$ 的LIS的结束字符，为了方便搜索，在添加的过程中，有意识的按字符顺序组织stack，这样一来，我们就可以通过二分查找将 $o(n^2)$ 中搜索代价降为 $logn$ ，于是时间复杂度就降为了 $o(nlogn)$ 。

###o( $nlogn$ )时间复杂度代码实现

int LIS2(string s){
    char a[100],sLen = s.length(),j = 1;
    a[0] = s[0];
    for(int i = 1;i < sLen;i ++){
        if(s[i] >= a[j - 1]) a[j++] = s[i];
        else{
            int low = 0,high = j - 1;
            while(low < high){
                int between = (high + low)/2;
                if(s[i] > a[between]) low = between + 1;
                else high = between - 1;
            }
            a[low] = s[i];
        }
    }
    for(int i = 0;i < j;i ++) cout << a[i];
    return 0;
}

##完整代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

string LIS1(string s)
{
    int sLen = s.length();
    int a[100][2];
    for(int i = 0;i < 100;i ++){
        a[i][0] = 1;
        a[i][1] = -1;
    }
    for(int i = 0;i < sLen;i ++){
        for(int j = 0;j < i;j ++){
            if(s[j] <= s[i] && a[j][0] >= a[i][0]){
                a[i][0] = a[j][0] + 1;
                a[i][1] = j;
            }
        }
    }
    int lMax = 0;
    for(int i = 0;i < 100;i ++){
        if(a[i][0] >= a[lMax][0]) lMax = i;
    }
    string res = "";
    while(a[lMax][0] != 1){
        res += s[lMax];
        lMax = a[lMax][1];
    }
    res += s[lMax];
    reverse(res.begin(),res.end());
    return res;
}
int LIS1cpy(string s)
{
   int sLen = s.length();
   int a[100] = {1};
   for(int i = 0;i < 100;i ++) a[i] = 1;
   for(int i = 0;i < sLen;i ++){
       for(int j = 0;j < i;j ++){
           if(s[j] <= s[i] && a[j] >= a[i]){
               a[i] = a[j] + 1;
           }
       }
   }
   return a[s.length() - 1];
}

int LIS2(string s){
    char a[100],sLen = s.length(),j = 1;
    a[0] = s[0];
    for(int i = 1;i < sLen;i ++){
        if(s[i] >= a[j - 1]) a[j++] = s[i];
        else{
            int low = 0,high = j - 1;
            while(low < high){
                int between = (high + low)/2;
                if(s[i] > a[between]) low = between + 1;
                else high = between - 1;
            }
            a[low] = s[i];
        }
    }
    return j;
}

int main()
{
    string s;
    cin >> s;
    LIS2(s);
    return 0;
}