最大子序列和 ##–动态规划
杭电1003；
Description
Given a sequence a[1],a[2],a[3]…a[n], your job is to calculate the max sum of a sub-sequence. For example, given (6,-1,5,4,-7), the max sum in this sequence is 6 + (-1) + 5 + 4 = 14.
Input
The first line of the input contains an integer T(1<=T<=20) which means the number of test cases. Then T lines follow, each line starts with a number N(1<=N<=100000), then N integers followed(all the integers are between -1000 and 1000).
Output
For each test case, you should output two lines. The first line is “Case #:”, # means the number of the test case. The second line contains three integers, the Max Sum in the sequence, the start position of the sub-sequence, the end position of the sub-sequence. If there are more than one result, output the first one. Output a blank line between two cases.
Sample Input
2
5 6 -1 5 4 -7
7 0 6 -1 1 -6 7 -5
Sample Output
Case 1:
14 1 4
Case 2:
7 1 6
大意：
给出一个序列，求出序列中连续的数的和的最大值并输出连续数列中首尾的位置，比如6 -1 5 4 -7 中6-1+5+4=14为连续数列中和最大的。
输入：
先输入t，表示t组测试数据；
每组测试数据第一个数为序列的个数；
输出：
输出要求的最大和，和求出的序列的首尾位置。
这是一道用动态规划算法得出的习题，用足够时间终于ac啦，下面给出详细思维过程：
一开始总有这样的思维过程，依据动态规划算法的思路，认为要找出最大子序列和，则找出去掉末尾的数的最大子序列即可，然而在寻找去掉末尾数的最大子序列和的时候，要考虑
1：不包含最后一个数的最大连续子序列和
2：包含最后一个数的最大连续子序列和
3：该数字本身
4：......
思考到这里陷入死胡同，感觉思考的方向本身就有问题，出发点一开始就错了，怎么办呢？
暴力计算下是否有规律可循？
是不是真的要检索所有的可能性？
动态规划上是不是不是最大的动态规划，而是检索的动态规划？
于是慢慢发现有如下规律：
如果把所有的子序列拿出来分类，把以相同数为末尾的归为一类，可得到
（假设有a[0],a[1],a[2],…a[n]，n+1个数）
a[0];
a[0] a[1]; a[1]
a[0] a[1] a[2]; a[1] a[2]; a[2];
a[0] a[1] a[2] a[3]; a[1] a[2] a[3]; a[2] a[3]; a[3];
…
…
规律
下一行只是在上一行的基础上多了一个末尾的数，如果我知道上一行最大的子序列，那么下一行最大的子序列一定在它的正下方（末尾数除外），因为上一行每一个子序列加上同一个数以后它的最大子序列还是它，（尽管最大子序列和有可能减少，因为这只是检索，只要不更maxsum就好），由此，只需要比较加上这个数与这个数的大小，就可以得到总的最大子序列和了
于是状态转移方程为:
sum[i]=max(sum[i-1]+a[i-1],a[i])
以下是ac代码，写的很啰嗦
#include<iostream>//最大子序列和
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{
int num, i, a[100000], maxsum, sum, t, B, F, k, tongji, j;
cin >> t;
k = 0;
while (t--)
{
cin >> num;
maxsum = -1001;
sum = -1000;
for (i = 0; i < num; i++)
cin >> a[i];
tongji = 0;
for (i = 0; i < num; i++)
{
if (a[i] < 0)
tongji++;
if (sum + a[i] >= a[i])
sum = sum + a[i];
else
{
sum = a[i];
}
if (sum > maxsum)
{
maxsum = sum;
F = i + 1;
}
}
sum = 0;
for (i = F - 1; i >= 0; i--)
{
sum += a[i];
if (sum == maxsum)
{
B = i + 1;
}
}//寻找起始值
if (tongji == num)//当所有的值为负数时
{
for (i = 0; i < num; i++)
{
if (a[i] == maxsum)
{
maxsum = a[i];
j = i;
break;
//cout << j;
}
}
printf("Case %d:\n", ++k);
printf("%d %d %d\n", maxsum, B, F);
if (t)
printf("\n");//注意输出格式 }
//cout << "Case " << k << ":" << endl << maxsum << " " << j + 1 << " " << j + 1 << endl << endl;
}
else
{
printf("Case %d:\n", ++k);
printf("%d %d %d\n", maxsum, B, F);
if (t)
printf("\n");//注意输出格式
//cout << "Case " << k << ":" << endl << maxsum << " " << B << " " << F << endl << endl;
}
}
//cin >> i;
return 0;
}