前言
记录一些最近遇到的DP问题，并给出解法。只会记录我知道的最优解法（一般是时间最优），并贴出源码。有OJ的还会贴上地址。
1. 求字符串的最长不重复子串的长度
举例：
abcabcbb，返回abc；bbbbb，返回b；pwwkew，返回wke。注意pwke是子序列，不是子串。
问题分析：
记字符串存放在字符数组cs中，遍历cs的下标为i。分析可知，想求截止到i的最长不重复子串的长度，只要从i向左，找到第1个重复的字符，其右边的数标记为left，则所求长度就是i-left+1与之前求得的结果中的最大值。举例说明：
- 当字符串为
abcdace，而i=5时，left应该为3。此时i-left+1=3,而之前求得的最长不重复子串的长度是4>3，所以i=5时的结果是4。
经分析可知，该算法需要在每一次遍历时，向左查找0~i个不等的元素，所以时间复杂度是O(n2)，空间复杂度O(1)。
上述方案尚有优化的空间，是因为在寻找left时采用了简单的遍历。经过分析可以知道left的变化是有规律的。只要知道与cs[i]相同的字符在上一次出现的位置，记为k，则left=k+1（k>=left的前提下）。所以，我们需要一个数组，记录所有元素最后出现的下标，就可以将查找left的时间从O(n)降到O(1)，此时时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)（增加了长度为256的定长辅助数组，所以空间复杂度不变）。
实现代码如下：
public class Solution {
public int lengthOfLongestSubstring(String str) {
if(str==null||str.length()==0)
return 0;
char[] cs = str.toCharArray();
int[] charMap = new int[256];
Arrays.fill(charMap , -1);
int max = 0;
int left = 0;
for(int i=0;i<cs.length;i++){
if(charMap[cs[i]]>=left)
left = charMap[cs[i]]+1;
int tmp = i-left+1;
if(tmp>max)
max = tmp;
charMap[cs[i]]=i;
}
return max;
}
}代码在LeetCode上运行通过。
2. 两个字符串的最长公共子串
最朴素的解法，就是遍历两个字符串的所有子串，然后比较是否相等。两层嵌套循环，再加上字符串的比较，时间复杂度是O(m*n*n)，其中m与n是两个字符串的长度，且m>n。肯定有优化的方法。
考虑使用二维数组help[i][j]，其中i是str1的下标，j是str2的下标，help[i][j]记录的是str1的第i个字符与str2的第j个字符是否相等。举例说明，字符串abccba与deccb，其help数组为：
很明显，最长公共子串就是help中对角线上全为1的最长序列，就是图中的红色部分。这种解法使用了一个m*n的辅助数组，将时间复杂度降到了O(MN)。
其实，help数组并不需要m*n，只需要n就够了。如果将help数组记录成如下方式：
这样一来，其实我们在每轮遍历时，只需要记录help的一行就可以了，如图中红框所示。下一趟遍历可以覆盖掉上一趟的结果，只要将有可能是最长的位置记录下来即可，这里要使用两个变量end与length。end记录help数组当前的下标，length记录对应的公共子串的长度。在最后一轮遍历结束后，只需要返回从end-length+1到end的子串，就可以了。
下面是代码：
public String getLongestCommonSubstring(String str1, String str2){
//check input parameters
if(str1==null||str2==null)
return null;
//find out the bigger string and the smaller one
String big = str1.length()>=str2.length()?str1:str2;
String small = str1.length()<str2.length()?str1:str2;
//get the end of the longest common substring in small
int[] help = new int[small.length()];
int end = 0;
int length = 0;
for(int i=0;i<big.length();i++){
for(int j=small.length()-1;j>=0;j--){
if(big.charAt(i)==small.charAt(j)){
if(j==0)
help[j]=1;
else{
help[j]=help[j-1]+1;
if(help[j]>length){
length = help[j];
end = j;
}
}
}else
help[j]=0;
}
}
//get the longest common substring and return it
if(length==0)
return null;
else
return small.substring(end-length+1,end+1);
}代码在华为OJ上测试通过，当然要符合他们的规范。