【1】前言

前言

算法分析是关于计算程序性能和资源利用的理论研究。
比性能更重要的要素：

• 模块性
• 准确性
• 可维护性
• 功能性
• 健壮性
• 用户友好
• 程序开发耗时
• 简易性
• 可扩展性
• 可靠性

为什么学习算法分析：

• 有时性能直接决定程序可行或者不可行
• 算法是一种描述程序行为的语言

sorting example

排列：我们输入一组序列 $a_1,a_2\dots a_n$，输出 $a'_1,a1_2\dots a'_n$， $a'_1 \le a'_2 \le \dots a'_n$

算法时间复杂度：

• 输入本身，如果输入本身排序好了，时间复杂度就很小
• 输入的规模，比如序列长短
• 通常讨论算法的最坏情况耗时

分析的种类

• 最坏情况分析： $T(n)$定义为输入规模为n时的最长运行时间。
• 平均情况： $T(n)$定义为输入规模为n时的期望运行时间。
• 最好情况

算法时间分析

取决于电脑：

• 相对速度（同一电脑）
• 绝对速度（不同电脑）

算法的大局观（渐进分析）：

• 忽略依赖于机器的常量
• 不检查实际的运行时间，关注运行时间的增长（舍弃低阶）

$3n^3 + 90n^2 – 5n + 6046 = Θ(n^3)$，当n足够大， $Θ(n^2)$终究会优于 $Θ(n^3)$ 。渐进符号的伟大之处在于，满足我们对相对和绝对速度的双重比较要求（不同的计算平台只是相差一个常数）。

插入排序

插入排序介绍

描述：先取定位置j，将j这个位置上的元素插进前j-1的序列（此时前j-1个元素的序列是排序好的了），j从2到n。

插入算法复杂度分析

最坏情况： $T(n)=\sum_j^nΘ(j)=Θ(n^2)$

归并排序

归并排序介绍

描述：n不为1时，将序列前后分两部分，两部分排序后只要对这两个已排序序列的头元素进行比较，按顺序输出到最后结果。

归并算法复杂度分析

$T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + cn$，利用迭代的思想。

$Θ(n lg n)$在渐进情况下小于 $Θ(n^2)$，因此归并排序优于插入排序。