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Abstract: 本文介绍多项式分布的相关知识Keywords: The Multinomial Distributions
生病的时候才会体会到人生的短暂和生命的含义，你可以选择自己的生活，也可以选择自己的快乐，一切都是正确的。
把二项分布 中的两个变量扩展成多个变量，就能得到我们我们今天要介绍的多项式分布，而且遵守和二项式分布一样的放回的采样方式（with replacement），在计数方法中我们也学过多项式系数 这个知识，与我们今天要说的多项式分布是紧密相关的，比如我们举个例子：
x
⃗
=
(
X
A
,
X
B
,
X
o
,
X
A
B
)
\vec{x}=(X_A,X_B,X_o,X_{AB})
x
= ( X A , X B , X o , X A B )
p
⃗
=
(
p
A
,
p
B
,
p
o
,
p
A
B
)
\vec{p}=(p_A,p_B,p_o,p_{AB})
p
= ( p A , p B , p o , p A B )
f
(
x
⃗
∣
4
,
p
⃗
)
=
P
r
(
X
A
=
x
1
,
X
B
=
x
2
,
X
o
=
x
3
,
X
A
B
=
x
4
)
=
{
(
n
x
1
x
2
x
3
x
4
)
p
A
x
1
p
B
x
2
p
o
x
3
p
A
B
x
4
if
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
n
0
otherwise
f(\vec{x}|4,\vec{p})=Pr(X_A=x_1,X_B=x_2,X_o=x_3,X_{AB}=x_4)\\ =\begin{cases} \begin{pmatrix} &n&\\ x_1&x_2&x_3&x_4 \end{pmatrix}p_A^{x_1}p_B^{x_2}p_o^{x_3}p_{AB}^{x_4}&\text{if } x_1+x_2+x_3+x_4=n\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}
f ( x
∣ 4 , p
) = P r ( X A = x 1 , X B = x 2 , X o = x 3 , X A B = x 4 ) = ⎩ ⎨ ⎧ ( x 1 n x 2 x 3 x 4 ) p A x 1 p B x 2 p o x 3 p A B x 4 0 if x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = n otherwise
这就是多项式系数的扩展，称为多项式分布的的样子，对应于多个随机变量，随机变量的个数为固定值。可以写成一下形式：
(5.9.1)
f
(
x
⃗
∣
n
,
p
⃗
)
=
{
(
n
x
1
…
x
k
)
p
1
x
1
…
p
k
x
k
if
x
1
+
⋯
+
x
k
=
n
0
otherwise
f(\vec{x}|n,\vec{p})= \begin{cases} \begin{pmatrix} &n&\\ x_1&\dots&x_k \end{pmatrix}p_1^{x_1}\dots p_{k}^{x_k}&\text{if } x_1+\dots+x_k=n\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}\tag{5.9.1}
f ( x
∣ n , p
) = ⎩ ⎨ ⎧ ( x 1 n … x k ) p 1 x 1 … p k x k 0 if x 1 + ⋯ + x k = n otherwise ( 5 . 9 . 1 )
Definition Multinomial Distributions.A discrete random vector
X
⃗
=
(
X
1
,
…
,
X
k
)
\vec{X}=(X_1,\dots,X_k)
X
= ( X 1 , … , X k )
n
n
n
p
⃗
=
(
p
1
,
…
,
p
k
)
\vec{p}=(p_1,\dots,p_k)
p
= ( p 1 , … , p k )
这个定义看起来没什么，而且上面的例子也给出了多项式分布的一般用法，接下来我们就说说多项式分布和二项分布的关系。
Theorem Suppose that the random vector
X
⃗
=
(
X
1
,
X
2
)
\vec{X}=(X_1,X_2)
X
= ( X 1 , X 2 )
n
n
n
p
⃗
=
(
p
1
,
p
2
)
\vec{p}=(p_1,p_2)
p
= ( p 1 , p 2 )
X
1
X_1
X 1
n
n
n
p
1
p_1
p 1
X
2
=
n
−
X
1
X_2=n-X_1
X 2 = n − X 1
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