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\(Description\)
你现在有\(N\)个分布在二维平面上的整点\((x_i,y_i)\)，现在需要你找到一个圆，满足：
- 能够覆盖所有的给出点
- 与\(x\)轴相切
现在需要你确定合法的圆的最小半径是多少，精度误差允许在\(10^{-6}\)范围内。
如果不存在一个合法的圆，输出\(-1\)。
- \(N\in [1,10^5]，x_i,y_i\in [10^{-7},10^7]\)
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\(Solution\)
垃圾 \(Double\) 毁我青春
首先考虑哪些情况不合法。显然如果点全部在\(x\)轴同一侧显然有解，所以只需要判断所有\(y_i\)是否同号即可。
便于处理，我们将所有点都放到\(x\)轴上方。
然后注意到如果一个半径较小的圆合法，那么半径比他大的圆一定也存在一个合法的位置，于是我们在实数域上二分。设当前二分到的半径为\(K\)，那么显然圆的纵坐标就是\(K\)了，设圆的横坐标为\(X\)。
那么对于一个点\(i\)，该点在这个圆内当且仅当
\[ (x_i-X)^2+(y_i-K)^2\le K^2 \]
稍作变形有
\[ |x_i-X|\le \sqrt{K^2-(y_i-K)^2} \]
即可得到对于该点来说，半径为\(K\)的圆合法的\(X\)对于范围：
\[ \Delta=\sqrt{K^2-(y_i-K)^2}\ ,\ X\in[x_i-\Delta,x_i+\Delta] \]
然而并不对。注意到\(\Delta\)可以进一步化简：
\[ \Delta=\sqrt{K^2-(y_i-K)^2}=\sqrt{K^2-(y_i^2+K^2-2Ky_i)}=\sqrt{2Ky_i-y_i^2} \]
看起来没什么不同？假的！下面我们就会谈到二分的范围，\(K^2\)是会爆掉 \(Double\) 的。
用了 \(Long\ Double\) 还是过不了？前面的式子精度会爆炸，精度丢失远高于后面的式子。
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然后二分边界就是对于所有点当前半径的合法区间的交集不为空。
这个部分可以维护最大的 \(L\) 和最小的 \(R\) ，直接判断 \(R>L\) 即可。
当时NC想什么差分数组区间标记前缀和，判断最大权是否为N
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然后讨论二分区间。极限数据两点分布于\((-10^7,1)\)和\((10^7,1)\)，此时半径有\(5\times10^{13}\)之大！
所以二分上界设的大一点不虚\((10^{18}\)之类的\()\)。
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然后还有一个细节。注意\(\Delta\)计算的时候根号下的部分。
必须保证\(2Ky_i-y_i^2\ge 0\)，也就是\(2K\ge y_i\)，不加这一个特判，负数开根右转自闭......
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\(Code\)
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define R register
#define gc getchar
#define N 100010
using namespace std;
bool f=0;
const double eps=1e-8;
int n;
struct point{double x,y;}p[N];
inline int rd(){
int x=0; bool f=0; char c=gc();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
return f?-x:x;
}
inline bool valid(double x){
double l=-(double)1e18,r=(double)1e18,dlt;
for(R int i=1;i<=n;++i){
if(p[i].y>x+x) return 0;
dlt=sqrt(p[i].y*(2*x-p[i].y));
l=max(l,p[i].x-dlt); r=min(r,p[i].x+dlt);
}
return (r-l+eps>=0.0);
}
int main(){
n=rd();
for(R int i=1;i<=n;++i){
p[i].x=(double)rd();
p[i].y=(double)rd();
if(p[i].y<0.0) f=1;
}
if(f==1) for(R int i=1;i<=n;++i){
p[i].y=-p[i].y;
if(p[i].y<0.0) {puts("-1");return 0;}
}
int t=0;
R double l=0.0,r=(double)1e18,mid;
while(t<=300){
mid=(l+r)/2.0; ++t;
valid(mid)?r=mid:l=mid;
}
printf("%.10lf",l);
return 0;
}