codeforces GYM 101431E (状态压缩dp+博弈)

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Problem E. Vera and Engineering Buildings

状态压缩dp 博弈 codeforces
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题目大意

有N个建筑构成一棵树(由数据范围可判断)，每个建筑都有一个美观值，所有建筑的美观值都互不相同。但Vera不能得知建筑的具体美观值是多少。他每次可以花$t_i$个单位时间调查：第i个建筑和所有与i相邻的建筑的相对高低。即若i与k个建筑相邻，分别是$v_1,v_2,…,v_k$，花费$t_i$时间后就能知道i和$v_1$中谁的美观值更高，i和$v_2$中谁的美观值更高……

Vera想找一个建筑，它的美观值比所有与它相邻的建筑都要高(极大点)。问Vera至少需要多少时间，才能保证找到这样一个建筑。（Vera可以根据上一次调查的结果来决定下一次调查的建筑）

数据约束：$2 \le N \le16$ $1 \le t_i \le 10^8$

解答

根据数据范围，应该能看出需要用到状态压缩。我先从样例得到启发，认为跟边是否调查过有关，如果所有边都调查过，那肯定是可以找到的。那是不是只要有一条边的信息没有得到，就不能找到极大点呢？然后我就用了一个错误的证明，得到了错误的结论。

假设还有一条边的信息没有得到，其两个端点是u和v。我们分别以u和v为根，用已经得到信息的边构成两颗树，如果所有父亲结点都比它的孩子大，那么就还未找到极大点，u和v就还需要比较，所以最后一条边的信息也必须知道。问题就变为，选价值和最小的点，选中所有边。做法是对边状态压缩dp。

然而，这样做返回的是Wrong Answer。有以下反例。

从左到右编号分别是1-8，每个点的调查时间都是1。如果先调查第3个和第6个点，若美观值用$a_i$表示，那么在没有找到极大点的情况下，有以下几种可能性。

• $a_2<a_3<a_4$ 且 $a_5<a_6<a_7$ ，这时$a_7$已经大于$a_6$，只有和$a_8$的关系未定，而$a_8$只有和$a_7$有边，所以两者之间必然有一个极大点，只要再调查一次即可。
• $a_2<a_3<a_4$ 且 $a_5>a_6>a_7$ ，这时$a_4$和$a_5$都比相邻的其中一个大，两者又相邻，所以也必然存在一个极大点，也只需再调查一次。
• $a_2>a_3<a_4$ ，这时比较$a_1$和$a_2$即可，总共2次即可找到极大点。
• 另外的情况，由对称性可得。

由此可见，并不是所有边的信息都要得到，上面错误的证明，没有考虑调查的次序和结果的影响。那么这个问题又该如何做呢？

由特殊到一般，我们假设所有点的调查花费都是1，建筑物构成的是一条链。第一次调查之后，把链分成两块，并且通过相邻的信息可以得到以下两个结论。

• 如果相邻点>调查点，那么该相邻点所在的块一定存在极大点(可用反证法)
• 如果相邻点<调查点，那么该相邻点所在的块可以不存在极大点(可用举例法)

由于如果所有相邻点都小于调查点的话，调查点已经是极大点；所以要使调查不停止的话，就至少存在一个相邻点>调查点。我们只要选中一个相邻点>调查点的块，其他块就完全不需要再考虑了。因此，我们就可以得到一个贪心的做法，每次把规模减半。继续考虑细节的话，分成的两块，是取多的那块呢，还是取少的呢？

答案自然是多的。因为题目要求的是保证找到的最少时间，所以如果我是系统的话，我就把极大点放在多的那一块(相邻点>调查点)，让少的那一块没有极大点(相邻点<调查点)。

这看起来，是不是有点像博弈？Vera要尽快找到极大点，系统要让Vera找到极大点的时间尽量长，两者用最优策略行动。

对于原题，我们可以枚举调查点$x_i$，然后分成几块(同样也是树)，系统选一块需要时间最长的一块给Vera。然后Vera在多个$x_i$的最大事件中找一个时间最小的，作为最优调查点。dp的状态是集合，可以用二进制压位表示。dp[U]表示调查子集U找到极大点的最小保证时间，状态转移方程如下：

$$dp[U]=min_{x \in U}( max_{y\in U and <x,y> \in E}*dp[set(U,x,y)]+a[x])$$
E是边的集合；set(U,x,y)表示，经过y但不经过x的U的最大连通子块。

临界：若某个子状态$U_i$的大小<=1，则dp[$U_i$]=0。

总时间复杂度是$O(2^N*N^2)$

AC代码