[Codeforces 1042E] Vasya and Magic Matrix（期望DP）

传送门
没事干来划个水（喂喂喂，想想你还有多少题没补w(ﾟДﾟ)w

这题是个非常水的期望DP
我们先按格子从小到大排个序
然后用 $f[i]$表示 $i$从 $i$这个格子出发的期望得分

最小的那些格子的f值显然是0啦
大的格子的f值显然是从比它小的转移来的啦

转移方程大概长这个样子，假设比第 $i$个格子小的共有 $s$个， $j$是权值比 $i$小的那些格子
$f[i]=\frac{\sum{(f[j]+(x[i]-x[j])^2+(y[i]-y[j])^2))}}{s}$
但是这样好像并！无！卵！用！因为我们还是要枚举 $j$
于是我们可以把上面的式子的分子展开
$\sum{(f[j]+(x[i]-x[j])^2+(y[i]-y[j])^2))}=\sum{(f[j]+x[i]^2-2x[i]x[j]+x[j]^2+y[i]^2-2y[i]y[j]+y[j]^2)}$
再化简就是（由于式子较长就只写了关于 $x$的部分， $y$同理）
$s\cdot x[i]^2-2 \cdot x[i] \cdot \sum{x[j]}+\sum{x[j]^2}$
于是，我们就可以让 $sf=\sum{f[j]},sx=\sum{x[j]},sx2=\sum{x[j]^2}$，当然还有 $sy$和 $sy2$
于是
$f[i]=\frac{sf+s \cdot x[i]^2-2 \cdot x[i] \cdot sx+sx2+s \cdot y[i]^2-2 \cdot y[i] \cdot sy+sy2}{s}$
欸，怎么还有个除 $s$ ？？？
没事没事，这个一开始线性求逆元预处理一波就好啦O(∩_∩)O

还有一个需要注意的细节是，由于每个格子是由严格小于它的格子转移来的，所以要把权值相同的格子的f值全求完了之后再一起更新 $sf,sx$这些变量。

#include<bits/stdc++.h>
#define fr(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define rf(i,x,y) for(int i=y;i>=x;i--)
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1001;
const int p=998244353;
int n,m;
struct data{
	int x,y,c;
}a[N*N];
int x,y;
ll inv[N*N];
ll f[N*N];
ll s,sf,sx,sx2,sy,sy2;

void read(int &x){
	char ch=getchar();x=0;
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
}

int cmp(const data &q,const data &w){
	return q.c<w.c;
}

void Add(ll &x,ll y){  //手动取模
	x+=y;
	while(x<0) x+=p;
	while(x>=p) x-=p;
}

inline ll sqr(ll x){
	return x*x;
}

int main(){
	read(n);read(m);
	fr(i,1,n) fr(j,1,m){
		read(x);
		a[(i-1)*m+j]=(data){i,j,x};
	}
	read(x);read(y);
	n*=m;
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	inv[1]=1;
	fr(i,2,n) inv[i]=(-p/i*inv[p%i])%p;  //线性求逆元
	a[n+1].c=-1;
	fr(i,1,n){
		if (s){  //可以转移
			Add(f[i],(s*sqr(a[i].x)%p-2*sx*a[i].x%p+sx2)%p);
			Add(f[i],(s*sqr(a[i].y)%p-2*sy*a[i].y%p+sy2)%p);
			Add(f[i],sf);
			f[i]=f[i]*inv[s]%p;
		} else f[i]=0;   //已经是最小的格子了
		if (a[i].x==x&&a[i].y==y){   //算出答案就输出
			cout<<(f[i]+p)%p<<endl;
			exit(0);
		}
		if (a[i].c!=a[i+1].c)   //相同权值的格子全部处理完了就更新
		 for(int j=i;j;j--){
		 	if (a[j].c!=a[i].c) break;
		 	Add(sf,f[j]);
		 	Add(sx,a[j].x);
		 	Add(sx2,sqr(a[j].x));
		 	Add(sy,a[j].y);
		 	Add(sy2,sqr(a[j].y));
		 	s++;
		 }
	}
	return 0;
}