BZOJ4300 || P4310 绝世好题【DP】

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Description

给定一个长度为n的数列ai，求ai的子序列bi的最长长度，满足bi&bi-1!=0(2<=i<=len)。

Input

输入文件共2行。
第一行包括一个整数n。
第二行包括n个整数，第i个整数表示ai。

Output

输出文件共一行。
包括一个整数，表示子序列bi的最长长度。

HINT

n<=100000,ai<=2*10^9

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题目分析

思路非常巧妙，确实是绝世好题

$dp[i]$表示以 $a[i]$结尾的符合要求的序列的最长长度
朴素转移 $dp[i]=max(dp[j])+1\ (a[i]\&amp;a[j]!=0)$显然是 $O(n^2)$的，无法承受

仔细思考是什么时候有 $a[i]\&amp;a[j]!=0$？
显然只要存在任意一位 $k$满足 $a[i],a[j]$第 $k$位都是1即可

所以我们考虑新增一个数组
$mx[k]$记录满足 $a[j]$第 $k$位是1的 $dp[j]$的最大值

那么dp方程变为
$dp[i]=max(mx[k])+1$其中 $a[i]$第 $k$位是1

这样对于每个dp[i]我们只需要一次 $log\ a_i$的遍历
总体时间复杂度约为 $O(nlogn)$

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=100010;
int n,ans;
int a[maxn],mx[50],dp[maxn];

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=30;j>=0;--j)
        if((1<<j)&a[i]) dp[i]=max(dp[i],mx[j]+1);
        for(int j=30;j>=0;--j)
        if((1<<j)&a[i]) mx[j]=max(mx[j],dp[i]);
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}