数据结构和算法(4)-树

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基于数组实现的结构允许我们通过下标或秩，在常数的时间内找到目标对象，并读取或更新其内容。然而，一旦需要对这类结构进行修改，那么无论是插入还是删除，都需要耗费线性的时间O(n)。

反过来，基于链表实现的结构允许我们借助引用或位置对象，在常数的时间内插入或删除元素O(1)；但是为了找出居于特定次序的元素，我们不得不花费线性的时间对整个结构进行遍历查找。

树:可以结合两者的优点.

4.1 术语及性质

4.1.1 节点的深度、树的深度与高度

树中的元素也称作节点（ Node）;
在树结构中，

1. 每个节点的深度都是一个非负整数；
2. 树根（ Root）深度为0 ;
3. 对于深度为 k (k≥1)的每个节点 u，都有且仅有一个深度为 k-1 的节点 v 与之对应，称作 u 的父亲（ Parent）或父节点。
4. 若节点 v 是节点 u 的父亲，则 u 称作 v 的孩子（ Child），并在二者之间建立一条树边（ Edge）;
5. 树中所有节点的最大深度，称作树的深度或高度;
6. 树中节点的数目，总是等于边数加一。

4.1.2 度、内部节点与外部节点

1. 任一节点的孩子数目，称作它的“度”（ Degree）;
2. 至少拥有一个孩子的节点称作“内部节点”（ Internal node）；没有任何孩子的节点则称作“外部节点”（ External node）或“叶子”（ Leaf）。一个节点是叶子，当且仅当它的度数为零。

4.1.3 路径

1. 由树中 k+1 节点通过树边首尾衔接而构成的序列{ (v0, v1), (v1, v2), …, (vk-1, vk) | k ≥ 0}，称作树中长度为 k 的一条路径（ Path）;
2. 树中任何两个节点之间都存在唯一的一条路径;
3. 若 v 是 u 的父亲，则 depth(v) + 1 = depth(u);
4. 从树根通往任一节点的路径长度，恰好等于该节点的深度;

4.1.4 祖先、后代、子树和节点的高度

1. 每个节点都是自己的“祖先”（ Ancestor），也是自己的“后代”（ Descendent）；
2. 若 v 是 u 的父节点的祖先，则 v 也是 u 的祖先；
3. 若 u 的父节点是 v 的后代，则 u 也是 v 的后代;
4. 任一节点 v 的深度，等于其真祖先的数目;
5. 任一节点 v 的祖先，在每一深度上最多只有一个;
6. 树 T 中每一节点 v 的所有后代也构成一棵树，称作 T 的“以 v 为根的子树（ Subtree）”
7. 若子树 v 的深度（高度）为 h，则称 v 的高度为 h，记作 height(v) = h。
8. 对于叶子节点 u 的任何祖先 v，必有 depth(v) + height(v) ≥ depth(u)。
   树的高度和深度:
   

4.1.5 共同祖先及最低共同祖先

1. 在树 T 中，若节点 u 和 v 都是节点 a 的后代，则称节点 a 为节点 u 和 v 的共同祖先（ Commonancestor）。
2. 每一对节点至少存在一个共同祖先。
3. 在一对节点 u 和 v 的所有共同祖先中，深度最大者称为它们的最低共同祖先（ Lowerestcommon ancestor），记作 lca(u, v)。
4. 每一对节点的最低共同祖先必存在且唯一。

4.1.6 有序树、 m 叉树

1. 在树 T 中，若在每个节点的所有孩子之间都可以定义某一线性次序，则称 T 为一棵“有序树（ Ordered tree）”。
2. 每个内部节点均为 m 度的有序树，称作 m 叉树。

4.1.7 二叉树

1. 每个节点均不超过 2 度的有序树，称作二叉树（ Binary tree）。
2. 不含 1 度节点的二叉树，称作真二叉树（ Proper bina ry tree ），否则称作非真二叉树（ Improper binary tree）。
3. 在二叉树中，深度为 k 的节点不超过 2k 个。
4. 高度为 h 的二叉树最多包含 2h+1-1 个节点。
5. 由 n 个节点构成的二叉树，高度至少为⎣log2n⎦ .
6. 在二叉树中，叶子总是比 2 度节点多一个。(等比数列求和)

4.1.8 满二叉树与完全二叉树

1. 若二叉树 T 中所有叶子的深度完全相同，则称之为满二叉树（ Full binary tree）。满二叉树相当于一个完整的等腰三角形
2. 高度为 h 的二叉树是满的，当且仅当它拥有 2h匹叶子、 2h+1-1 个节点
3. 若在一棵满二叉树中，从最右侧起将相邻的若干匹叶子节点摘除掉，则得到的二叉树称作完全二叉树（ Complete binary tree）。
4. 由 n 个节点构成的完全二叉树，高度 h = ⎣log2n⎦。
5. 在由固定数目的节点所组成的所有二叉树中，完全二叉树的高度最低。

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4.2 树抽象数据类型及其实现

4.2.1 父亲-长子-弟弟”模型

在每个节点中除数据项外，还设有三个引用，分别指向该节点的父亲、长子和最大弟弟节点（若不存在，则为null）。

4.2.2 树 ADT

树抽象类型要支持以下的基本方法：

操作方法	功能描述
getElement()：	返回存放于当前节点处的对象 输入：无 输出：对象
setElement(e)：	将对象 e 存入当前节点，并返回其中此前所存的内容 输入：一个对象 输出：对象
getParent()：	返回当前节点的父节点 输入：无 输出：树节点
getFirstChild()：	返回当前节点的长子 输入：无 输出：树节点
getNextSibling()：	返回当前节点的最大弟弟 输入：无 输出：树节点

4.2.3 树的 Java 接口

不同问题要求更新操作不同后续给出更新操作的实现;

/*
* 树ADT接口
*/
public interface Tree {
	//返回当前节点中存放的对象
	public Object getElem();
	//将对象obj存入当前节点，并返回此前的内容
	public Object setElem(Object obj);
	//返回当前节点的父节点
	public TreeLinkedList getParent();
	//返回当前节点的长子
	public TreeLinkedList getFirstChild();
	//返回当前节点的最大弟弟
	public TreeLinkedList getNextSibling();
	//返回当前节点后代元素的数目，即以当前节点为根的子树的规模
	public int getSize();
	//返回当前节点的高度
	public int getHeight();
	//返回当前节点的深度
	public int getDepth();
}

4.2.4 基于链表实现树

/*
* 基于链表实现树结构
*/
public class TreeLinkedList implements Tree {
	private Object element;//树根节点
	private TreeLinkedList parent, firstChild, nextSibling;//父亲、长子及最大的弟弟
	//（单节点树）构造方法
	public TreeLinkedList()
	{ this(null, null, null, null); }
	//构造方法
	public TreeLinkedList(Object e, TreeLinkedList p, TreeLinkedList c, TreeLinkedList
	s) {
	element = e;
	parent = p;
	firstChild = c;
	nextSibling = s;
	}
	/*---------- Tree接口中各方法的实现 ----------*/
	//返回当前节点中存放的对象
	public Object getElem()
	{ return element; }
	//将对象obj存入当前节点，并返回此前的内容
	public Object setElem(Object obj)
	{ Object bak = element; element = obj; return bak; }
	//返回当前节点的父节点；对于根节点，返回null
	public TreeLinkedList getParent()
	{ return parent; }
	//返回当前节点的长子；若没有孩子，则返回null
	public TreeLinkedList getFirstChild()
	{ return firstChild; }
	//返回当前节点的最大弟弟；若没有弟弟，则返回null
	public TreeLinkedList getNextSibling()
	{ return nextSibling; }
	//返回当前节点后代元素的数目，即以当前节点为根的子树的规模
	public int getSize() {
			int size = 1;//当前节点也是自己的后代
			TreeLinkedList subtree = firstChild;//从长子开
			while (null != subtree) {//依次
			size += subtree.getSize();//累加
			subtree = subtree.getNextSibling();//所有孩子的后代数目
		}
		return size;//即可得到当前节点的后代总数
	}
	//返回当前节点的高度
	public int getHeight() {
			int height = -1;
			TreeLinkedList subtree = firstChild;//从长子开始
			while (null != subtree) {//依次
				height = Math.max(height, subtree.getHeight());//在所有孩子中取最大高度
				subtree = subtree.getNextSibling();
		}
			return height+1;//即可得到当前节点的高度
	}
	//返回当前节点的深度
	public int getDepth() {
			int depth = 0;
			TreeLinkedList p = parent;//从父亲开始
			while (null != p) {//依次
			depth++; p = p.getParent();//访问各个真祖先
			}
			return depth;//真祖先的数目，即为当前节点的深度
		}
}

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来源于:Java数据结构,邓俊辉