训练日记-32

         这几天主要还是在看数论的相关课件，主要看的有中国剩余函数、算数基本定理、欧拉函数。

     

   中国剩余定理：

   两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m
记作 a≡b (mod m)

   性质：

1 反身性 a≡a (mod m)
2 对称性 若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)
3 传递性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，则a≡c (mod m)
4 同余式相加 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d (mod m)
5 同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m)

   算数基本定理：

   任何一个大于1的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，这里均为质数其诸指数是正整数。

    主要应用：

1  一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为：

，那么它的正 因数个数为

。

2  它的全体正因数之和为

。

当

时就称N为 完全数。 是否存在奇完全数，是一个至今未解决之猜想。

3  利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子

和 最小公倍数

， 并证明

。

    欧拉函数：

     通式：

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

     φ(1)=1（唯一和1 互质 的数(小于等于1)就是1本身）。 注意：每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
     若n是质数p的k次幂，

，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
     设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值 φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
     欧拉函数是 积性函数 ——若m,n互质，

     特殊性质：当n为奇数时，

, 证明与上述类似。 若n为质数则

     

     数学还是高深的呀，能够通过某种性质找到各类数之间的联系，从而找到求解的简便方法。

     数论路漫漫，继续加油！