题目描述
众所周知卡农是一种复调音乐的写作技法,小余在听卡农音乐时灵感大发,发明了一种新的音乐谱写规则。他将声音分成 n 个音阶,并将音乐分成若干个片段。音乐的每个片段都是由 1 到 n 个音阶构成的和声,即从 n 个音阶中挑选若干个音阶同时演奏出来。为了强调与卡农的不同,他规定任意两个片段所包含的音阶集合都不同。同时为了保持音乐的规律性,他还规定在一段音乐中每个音阶被奏响的次数为偶数。现在的问题是:小余想知道包含 m 个片段的音乐一共有多少种。两段音乐 a 和 b 同种当且仅当将 a 的片段重新排列后可以得到 b。例如:假设 a
为{{1,2},{2,3}},b 为{{3,2},{2,1}},那么 a 与 b 就是同种音乐。由于种数很多,你只需要
输出答案模 100000007(质数)的结果。
Sol
数据范围 10^6
并且是计数题 , 复杂度估计是
了
说实话 , 要是思路不够清晰的话这题真的很难想到
最后答案要满足三个条件:
- 所有集合不重复
- 所有集合非空
- 所有数字出现次数为偶数
- 要求的是无序的排列数
无序的排列在有限制条件下很不好求 , 因为情况太多
但是首先我们发现集合两两不同 , 那么无序这个条件就很好解决了 , 直接在最后有序的答案中乘上阶乘逆元就可以了
关键是上面的三个条件
注意到一个很重要的性质: 每一个片段中一种数字只能出现一次 , 且不能为空集!!!
这意味这在一个合法的方案中再要求加一个片段 , 那么一定是不合法的
从这也可以看出 , 如果已经确定了一些片段 , 要求加入一个片段后合法的方案是唯一的!
那么可以考虑容斥 , 用总数减去不合法的
假设我们要求 m 个片段的方案
那么满足所有数字出现次数为偶数的总方案数就是 , 即从总的可能的集合中选取 m-1 个后排列的方案数 (先把不好处理的条件先限制好)
然后不合法的就是这个时候 , 集合重复出现或者该集合为空的方案
首先处理集合为空的情况 , 如果要选空集才能合法 , 那么必定本来就是合法的 , 所以这部分不合法的方案数 就是 m-1 个片段时的方案数
然后是集合重复的情况 , 这里我们发现如果集合重复出现 , 那么删去这两个集合后仍然合法
于是可以从 m-2 个片段时转移过来
总转移方程:
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m;
typedef long long ll;
const ll mod=1e8+7;
const int N=1e6+10;
inline ll fpow(ll x,ll k)
{
register ll ret=1;
while(k){
if(k&1) ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod;
k>>=1;
}
return ret;
}
ll f[N];
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
if(n==1) return puts("0"),0;
if(m<=2) return puts("0"),0;
register ll fac=1;
for(register int i=1;i<=m;++i) fac=fac*i%mod;
register ll inv=fpow(fac,mod-2);
register ll S=(fpow(2,n)+mod-1)%mod;
register ll A=S;
for(register ll i=3;i<=m;++i) {
register ll T=(S-i+2+mod)%mod;
A=A*T%mod;
f[i]=(A-f[i-1]-f[i-2]*(i-1)%mod*T%mod+(mod<<1))%mod;
}
f[m]=f[m]*inv%mod;
printf("%lld\n",f[m]);
}