洛谷P1373 小a和uim之大逃离
题目背景
小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来，一片乌云从北部天边急涌过来，还伴着一道道闪电，一阵阵雷声。刹那间，狂风大作，乌云布满了天空，紧接着豆大的雨点从天空中打落下来，只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物，低沉着声音说：“呵呵，既然你们来到这，只能活下来一个！”。小a和他的小伙伴都惊呆了！
题目描述
瞬间，地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵，矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶，说道，你们可以从矩阵的任一个格子开始，每次向右或向下走一步，从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液，下一步由uim吸收，如此交替下去，并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量，也就是说，如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零，如果装了k+2就只剩下1，依次类推。怪物还说道，最后谁的魔瓶装的魔液多，谁就能活下来。小a和uim感情深厚，情同手足，怎能忍心让小伙伴离自己而去呢？沉默片刻，小a灵机一动，如果他俩的魔瓶中魔液一样多，不就都能活下来了吗？小a和他的小伙伴都笑呆了！
现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。
输入输出格式
输入格式：
第一行，三个空格隔开的整数n，m，k
接下来n行，m列，表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。
输出格式：
一个整数，表示方法数。由于可能很大，输出对1 000 000 007取余后的结果。
输入输出样例
输入样例#1：
2 2 3
1 1
1 1
输出样例#1：
4
说明
【题目来源】
lzn改编
【样例解释】
样例解释：四种方案是：(1,1)->(1,2),(1,1)->(2,1),(1,2)->(2,2),(2,1)->(2,2)。
【数据范围】
对于20%的数据，n,m<=10,k<=2
对于50%的数据，n,m<=100,k<=5
对于100%的数据，n,m<=800,1<=k<=15
Solution
这道题十分的皮?
因为每次只能从正上和正左转移过来,所以可以看出是递推,可是每次都要换一个人,怎么表示?
没事,我们可以把它记录到状态中,\(dp[i][j][0]\)表示\((i,j)\)这个点由小a拿的方案数,同理\(dp[i][j][1]\)表示\((i,j)\)这个点由uim拿的方案数,那么怎么表示让他们拿的药水一样多呢?
两遍dp??? 会T飞,下一个
是的,一遍dp,再加一维状态,两个人所收集的药水的差值,至此,dp数组设计完毕,下面是思考状态转移环节
\[dp[i][j][t][0]+=dp[i-1][j][t-a[i][j]][1]\]
这里的意思是如果当前是小a选,那么差值会增大,由\(t-a[i][j]\to t\),所以方案数要加起来,下面同理
\[dp[i][j][t][0]+=dp[i][j-1][t-a[i][j]][1]\]
\[dp[i][j][t][1]+=dp[i-1][j][t+a[i][j]][0]\]
差值变小,由\(t+a[i][j]\to t\)
\[dp[i][j][t][1]+=dp[i][j-1][t+a[i][j]][0]\]
因为每次超过k就会清零,注意是超过,所以为了方便,初始化k++
除此之外,因为小a从哪里开始都可以,所以初始化
dp[i][j][a[i][j]][0]=1记住,状态转移的时候要取模,还有由于相见可能会是负数,所以(t-a[i][j]+k)%k防止越界
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define in(i) (i=read())
#define lol long long
#define rg register
#define il extern inline
using namespace std;
const int N=810,mod=1000000007;
int read() {
int ans=0,f=1; char i=getchar();
while(i<'0' || i>'9') {if(i=='-') f=-1; i=getchar();}
while(i>='0' && i<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+(i^48),i=getchar();
return ans*f;
}
lol ans;
int n,m,k;
int a[N][N],dp[N][N][16][2];
int main()
{
in(n);in(m);in(k);k++;
for(rg int i=1;i<=n;i++)
for(rg int j=1;j<=m;j++)
in(a[i][j]),dp[i][j][a[i][j]%k][0]=1;
for(rg int i=1;i<=n;i++) {
for(rg int j=1;j<=m;j++) {
for(rg int t=0;t<k;t++) {
(dp[i][j][t][0]+=dp[i-1][j][(t-a[i][j]+k)%k][1])%=mod;
(dp[i][j][t][0]+=dp[i][j-1][(t-a[i][j]+k)%k][1])%=mod;
(dp[i][j][t][1]+=dp[i-1][j][(t+a[i][j])%k][0])%=mod;
(dp[i][j][t][1]+=dp[i][j-1][(t+a[i][j])%k][0])%=mod;
}
}
}
for(rg int i=1;i<=n;i++)
for(rg int j=1;j<=m;j++)
(ans+=1ll*dp[i][j][0][1])%=mod;//答案记得开long long
cout<<ans<<endl;
}