1+1/2+1/3+...+1n为素数的证明 - 代码天地

1+1/2+1/3+...+1n为素数的证明

编程语言 2018-09-28 03:15:57 阅读次数: 0

我们考虑不大于 $n$ 的最大的 $2$ 的幂 $2^k$ 。

令 $m=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^k}+\cdots+\frac{1}{n}$

有 $\begin{align} 2^{k-1}\cdot m&=2^{k-1}+2^{k-2}+\cdots+2^0+\frac{1}{2}+\frac{a}{b}\\&=2^{k}-1+\frac{1}{2}+\frac{a}{b}=2^k-\frac{1}{2}+\frac{a}{b}\\ \frac{1}{2}&=2^k-2^{k-1}\cdot m+\frac{a}{b} \end{align}\\$ 其中 $\frac{a}{b}$ 是剩下的所有的项的和，由于乘以了最大的 $2$ 的幂，所以剩下的所有项的分母都是奇数，故而 $b$ 是奇数。如果 $m$ 是整数，那么就会导致等式右边的分母为奇数，然而等式左边分母是偶数，矛盾，所以 $m$ 必然不是整数。

作者：好地方bug
链接：https://www.zhihu.com/question/266681051/answer/313036774
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