关于等差等比数列乘积求和的分析

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关于等差等比数列乘积求和的分析

问题描述

设数列：

$$\begin{eqnarray} a_n & = & a_1+(n-1)d \\ b_n & = & b_1q^{(n-1)} \end{eqnarray}$$

并设：

$$c_n=a_nb_n$$
求：
$$\sum_{k=0}^n{c_k}$$

分析

$$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n{c_k} & = & a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n \\ & = & a_1b_1 + (a_1+d)b_1q + (a_1+2d)b_1q^2 + \dots + [a_1+(n-1)d]b_1q^{n-1} \\ & = & a_1b_1 + a_1b_1q + \dots + a_1b_1q^{n-1} + b_1d(q+2q^2+\dots+(n-1)q^{n-1}) \\ & = & a_1b_1\frac{1-q^n}{1-q}+b_1d(q+2q^2+\dots+(n-1)q^{n-1}) \end{eqnarray}$$

因此关键在于求和：

$$S = q + 2q^2 + 3q^3 + \dots + (n-1)q^{n-1}$$

若：

$$D = q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n-1} = \frac{q-q^n}{1-q}$$

有：

$$\begin{eqnarray} S & = & q\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}q} \\ & = & q(\frac{q-q^n}{1-q})' \\ & = & q\frac{(1-nq^{n-1})(1-q)-(q-q^n)(-1)}{(1-q)^2}\\ & = & q\frac{1-q^{n-1}(n-nq+q)}{(1-q)^2}\\ & = & \frac{q-q^n(n-nq+q)}{(1-q)^2} \end{eqnarray}$$

综上，

$$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n{c_k}&=&a_1b_1\frac{1-q^n}{1-q}+b_1dq\frac{1-q^{n-1}(n-nq+q)}{(1-q)^2}\\ &=&a_1b_1\frac{1-q^n}{1-q}+b_1dq[(\frac{q-q^n}{1-q})'_q] \end{eqnarray}$$