【算法】O(1)空间，不改变原数组的情况下找第K大的数

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找到无序数组中第K大的数，这道题蜜汁经典，腾讯和头条的面试中都被问到了，我一般用的都是大小为K的小顶堆和快排扫一半这两种思路做这道题，直到前几天面试头条的时候，终面面试官问，有没有$O(1)$空间【严格的$O(1)$空间，即不能用递归】且不改变原数组的情况下，找第K大的数。当场没有想起来，下来之后突然就想到了。所以特此来总结一下。

找数组第K大的数 ，Leetcode上有一道原题：
215. Kth Largest Element in an Array

常规的两种方法——小顶堆和快排分治

快排扫一半

就是快排每次扫完之后，看轴值得位置在哪里，如果大于k则扫前一半，小于k则扫后一半，如果等于k则说明找到了【PS，这里的k是指从0开始数的第K大的数】
这种方法的时间复杂度，平均意义上是$O(n)$

int findKsort(vector<int>& nums,int k,int left,int right){
    if(left==right)                //其实这一步也可以不加的，因为下面有判断出如果相等的话，就直接返回了
        return nums[left];
    int i = left;
    int j = right;
    int q = nums[j];
    while(i<j){
        while(i<j && nums[i]>q) i++;
        nums[j] = nums[i];
        while(i<j && nums[j]<=q) j--;
        nums[i] = nums[j];
    }
    nums[i] = q;
    if(i == k)
        return nums[i];
    if(i>k)
        return findKsort(nums,k,left,i-1);      //顺便要注意这个地方是i-1和i+1，不能是i否则会死循环。
    else
        return findKsort(nums,k,i+1,right);
}
int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {
    return findKsort(nums,k-1,0,nums.size()-1);
}

K大小的小顶堆

这种方法就是，先把数组中前K个数建立一个小顶堆，然后再依次往后扫，如果小于堆顶元素则继续往后扫，如果大于堆顶元素，则把堆顶元素pop出，然后再push进这个元素。
这种算法的复杂度是$O(nlogK)$

int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> q;
    for(int i=0;i<k;i++)
        q.push(nums[i]);
    for(int i = k;i<nums.size();i++){
        if(nums[i]>q.top()){
            q.pop();
            q.push(nums[i]);
        }
    }
    return q.top();
}

O(1)空间，不改变原数组的做法

这其实也是一个二分法啦，只不过之前的二分法都是从数组索引的角度去二分，而这次等于是二分一个数是否是满足第K大数的条件。 【即相当二分法求一个单调函数值$f(x) - k = 0$，依次去二分x看这个函数什么时候相等。】
这种方法的复杂度是需要讨论的，如果数组中全都是int类型的整数，那么时间复杂度是$O(n)$
因为本质上查找一遍数组需要$O(n)$，而至多需要查找$log(Max-Min) \le 32$所以至多查找32遍，所以复杂度还是$O(n)$的
PS，这种方法其实还是只是适用于整数，因为如果是浮点数的话，其复杂度是不可估计的。

int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {
    int left = INT_MAX;
    int right = INT_MIN;
    for(auto x:nums){
        left = min(x,left);
        right = max(x,right);
    }
    while(left<=right){
        int mid = left + (right-left)/2;
        int count1 = 0;
        int count2 = 0;
        for(auto x:nums){
            if(x>=mid)
                count1++;
            if(x>mid)
                count2++;
        }
        if(count1 >=k && count2 <k)
            return mid;
        if(count1 <k)
            right = mid-1;
        else
            left = mid+1;
    }
    return -1;
}