BZOJ1898 || 洛谷P2579 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼【矩阵DP】

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Description

潘塔纳尔沼泽地号称世界上最大的一块湿地，它地位于巴西中部马托格罗索州的南部地区。每当雨季来临，这里碧波荡漾、生机盎然，引来不少游客。为了让游玩更有情趣，人们在池塘的中央建设了几座石墩和石桥，每座石桥连接着两座石墩，且每两座石墩之间至多只有一座石桥。这个景点造好之后一直没敢对外开放，原因是池塘里有不少危险的食人鱼。豆豆先生酷爱冒险，他一听说这个消息，立马赶到了池塘，想做第一个在桥上旅游的人。虽说豆豆爱冒险，但也不敢拿自己的性命开玩笑，于是他开始了仔细的实地勘察，并得到了一些惊人的结论：食人鱼的行进路线有周期性，这个周期只可能是2，3或者4个单位时间。每个单位时间里，食人鱼可以从一个石墩游到另一个石墩。每到一个石墩，如果上面有人它就会实施攻击，否则继续它的周期运动。如果没有到石墩，它是不会攻击人的。借助先进的仪器，豆豆很快就摸清了所有食人鱼的运动规律，他要开始设计自己的行动路线了。每个单位时间里，他只可以沿着石桥从一个石墩走到另一个石墩，而不可以停在某座石墩上不动，因为站着不动还会有其它危险。如果豆豆和某条食人鱼在同一时刻到达了某座石墩，就会遭到食人鱼的袭击，他当然不希望发生这样的事情。现在豆豆已经选好了两座石墩Start和End，他想从Start出发，经过K个单位时间后恰好站在石墩End上。假设石墩可以重复经过（包括Start和End），他想请你帮忙算算，这样的路线共有多少种（当然不能遭到食人鱼的攻击）。

Input

输入文件共M + 2 + NFish行。第一行包含五个正整数N，M，Start，End和K，分别表示石墩数目、石桥数目、Start石墩和End石墩的编号和一条路线所需的单位时间。石墩用0到N–1的整数编号。第2到M + 1行，给出石桥的相关信息。每行两个整数x和y，0 ≤ x, y ≤ N–1，表示这座石桥连接着编号为x和y的两座石墩。第M + 2行是一个整数NFish，表示食人鱼的数目。第M + 3到M + 2 + NFish行，每行给出一条食人鱼的相关信息。每行的第一个整数是T，T = 2，3或4，表示食人鱼的运动周期。接下来有T个数，表示一个周期内食人鱼的行进路线。 如果T＝2，接下来有2个数P0和P1，食人鱼从P0到P1，从P1到P0，……； 如果T＝3，接下来有3个数P0，P1和P2，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P0，……； 如果T＝4，接下来有4个数P0，P1，P2和P3，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P3，从P3到P0，……。豆豆出发的时候所有食人鱼都在自己路线上的P0位置，请放心，这个位置不会是Start石墩。

Output

输出路线的种数，因为这个数可能很大，你只要输出该数除以10000的余数就行了。
【约定】 1 ≤ N ≤ 50，1 ≤ K ≤ 2,000,000,000，1 ≤ NFish ≤ 20

题目分析

图的邻接矩阵有一个性质
若 $G[u][v]$ 表示 $u$ 到 $v$ 恰好经过一条边的路径的条数
那么 $G^k[u][v]$ 则表示恰好经过 $K$ 条边的
可以用矩阵快速幂计算

该性质在这篇博客里由较具体的证明

矩阵乘法 x 图的邻接矩阵

此题中每个时刻的矩阵是变化的，不能直接快速幂
若我们以 $G_i$ 矩阵表示 $i$ 时刻去掉不能呆的点后的图
那么答案矩阵为 $\prod_{i=1}^KG_i$

我们发现 $T=2,3,4$ ，他们的最小公倍数只有12
也就是说 $G_i$ 矩阵是以12为周期轮回的，即 $G_i=G_{i+12}$

于是我们可以把答案矩阵表示为
$\prod_{i=1}^KG_i=(\prod_{i=1}^{12}G_i)^{\lfloor \frac{K}{12}\rfloor}*\prod_{i=1}^{K\mod 12}G_i$

我们只要预处理出 $(\prod_{i=1}^{12}G_i)^{\lfloor \frac{K}{12}\rfloor}$ ，然后快速幂
对于最后剩下的几个暴力计算即可

因为矩阵不满足交换律
所以注意预处理 $(\prod_{i=1}^{12}G_i)^{\lfloor \frac{K}{12}\rfloor}$ 实际操作应为
$(\prod_{i=2}^{12}G_i)^{\lfloor \frac{K}{12}\rfloor}*G_1$

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int mod=10000;
const int maxn=55;
int n,m,s,t,K;
struct node{int a[maxn][maxn]; node(){memset(a,0,sizeof(a));} }G,Q,E[15];
int fish[5],judge[15][maxn];

node mul(node x,node y)
{
    node ans;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
    for(int k=1;k<=n;++k)
    ans.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j]),
    ans.a[i][j]%=mod;
    return ans;
}

node qpow(node a,int k)
{
    node ans;
    for(int i=1;i<=n;++i) ans.a[i][i]=1;
    while(k>0){
        if(k&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        k>>=1; 
    }
    return ans;
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    s=read()+1;t=read()+1;K=read();
    
    while(m--)
    {
    	int u=read()+1,v=read()+1;
    	G.a[u][v]=G.a[v][u]=1;
    }
    
    int NF=read();
    while(NF--)
    {
        int T=read();
        for(int i=0;i<T;++i) fish[i]=read()+1;
        for(int i=0;i<12;++i) judge[i][fish[i%T]]=1;
    }
    
    for(int i=0;i<12;++i)
    {
        memcpy(E[i].a,G.a,sizeof(G.a));
        for(int u=1;u<=n;++u)
        if(judge[i][u])
        for(int v=1;v<=n;++v)
        E[i].a[v][u]=0;
    }
    
    for(int i=1;i<=n;++i) Q.a[i][i]=1;
    for(int i=1;i<12;++i)
    Q=mul(Q,E[i]);
    Q=mul(Q,E[0]);
    
    
    node ans=qpow(Q,K/12);
    for(int i=1;i<=K%12;++i)
    ans=mul(ans,E[i]);
    
    printf("%d",ans.a[s][t]);
    return 0;
}