BZOJ1048 || 洛谷P2217 [HAOI2007]分割矩阵【记忆化搜索DP】

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Description

将一个a*b的数字矩阵进行如下分割：将原矩阵沿某一条直线分割成两个矩阵，再将生成的两个矩阵继续如此
分割（当然也可以只分割其中的一个），这样分割了（n-1)次后，原矩阵被分割成了n个矩阵。（每次分割都只能
沿着数字间的缝隙进行）原矩阵中每一位置上有一个分值，一个矩阵的总分为其所含各位置上分值之和。现在需要
把矩阵按上述规则分割成n个矩阵，并使各矩阵总分的均方差最小。请编程对给出的矩阵及n，求出均方差的最小值
。

Input

第一行为3个整数，表示a,b,n(1<a,b<=10,1<n<=10）的值。
第二行至第n+1行每行为b个小于100的非负整数，表示矩阵中相应位置上的分值。每行相邻两数之间用一个空
格分开。

Output

仅一个数，为均方差的最小值（四舍五入精确到小数点后2位）

题目分析

首先均方差(标准差)的公式为 $σ=\sqrt{\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-\overline{x})^2}{n}}$
( $x_i$ 是第 $i$ 个矩阵的总分， $\overline{x}$ 为n个矩阵总分的平均数)

由于 $n$ 不变，我们实际要求的就是 $(x_i-\overline{x})^2$ 最小
$dp[a][b][c][d][num]$ 表示将矩阵 $(a,b,c,d)$ 分割成 $num$ 个可以得到的 $(x_i-\overline{x})^2$ 最小值

那么有
（枚举竖着切， $i\in[b,d)$ ）
$DP[a,b,c,d,num]=Min_{k=1}^{num-1}(DP[a,b,c,i,k]+DP[a,i+1,c,d,num-k],DP[a,i+1,c,d,k]+DP[a,b,c,i,num-k])$
（枚举横着切， $i\in[a,c)$ ）
$DP[a,b,c,d,num]=Min_{k=1}^{num-1}(DP[a,b,i,d,k]+DP[i+1,b,c,d,num-k],DP[i+1,b,c,d,k]+DP[a,b,i,d,num-k])$

当 $num==1$ 时，返回 $(sum(a,b,c,d)-\overline{x})^2$
最后答案为 $dp[1][1][a][b][n]$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lt;
typedef double dd;
#define sqr(x) ((x)*(x))

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=17;
int n,m,k;
int a[maxn][maxn],sum[maxn][maxn];
dd dp[maxn][maxn][maxn][maxn][maxn],ave;

dd qsum(int a,int b,int c,int d){return (dd)(sum[c][d]-sum[a-1][d]-sum[c][b-1]+sum[a-1][b-1]);}

dd DP(int a,int b,int c,int d,int num)
{
    if(dp[a][b][c][d][num]) return dp[a][b][c][d][num];
    else if(num==1) return sqr(qsum(a,b,c,d)-ave);
    dp[a][b][c][d][num]=1e9;
    for(int i=b;i<d;++i)
    for(int j=1;j<num;++j)
    {
        dd tt1=DP(a,b,c,i,j)+DP(a,i+1,c,d,num-j);
        dd tt2=DP(a,i+1,c,d,j)+DP(a,b,c,i,num-j);
        dp[a][b][c][d][num]=min(dp[a][b][c][d][num],min(tt1,tt2));
    }
    for(int i=a;i<c;++i)
    for(int j=1;j<num;++j)
    {
        dd tt1=DP(a,b,i,d,j)+DP(i+1,b,c,d,num-j);
        dd tt2=DP(i+1,b,c,d,j)+DP(a,b,i,d,num-j);
        dp[a][b][c][d][num]=min(dp[a][b][c][d][num],min(tt1,tt2));
    }
    return dp[a][b][c][d][num];
}

int main()
{
    n=read();m=read();k=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=m;++j)
    a[i][j]=sum[i][j]=read(),
    sum[i][j]+=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
    
    ave=(dd)sum[n][m]/(dd)k;
    printf("%.2lf",sqrt(DP(1,1,n,m,k)/(dd)k));
    return 0;
}