在微积分的课本中，经常可以见到这种问题：
你可能会说，为什么分子分母都有(x-1)呢？
很明显，分母不能为0，如果函数x=1时，是没有定义的。如果把(x-1)消掉，仅仅用3x的话，实际上除了x=1有个空洞外，
它和y=3x是一样的，而在函数无定义处取极限是很有趣的。
书上的要求是要证明这个极限。但我们应该知道这个极限应该等于3。
我们来证明一下：
我们来用极限的定义。
证明：
如果给定一个
，存在一个
，
记住，决定决定f(x)距极限值的距离。
只要x和极限点的距离，也就是x和1的距离小于。（记住，x不能正好取在极限点上，因为那里函数无定义）
这个函数值和极限值的距离也就是和3的距离。
接下来我们把作为突破口。我们先消掉(x-1)。这时你可能会说，我们不能这么做，当x不等于1才能消掉。
不用担心，现在是可以消去的，因为我们考虑只是x趋向于1，并不包括x=1。
我们来化简：
我们得到了：
（等价于）
也就是说，当x和1的距离小于时，这个式子成立。
所以我们可以取为我们的
，记住，关键点在于：给出一个
，也就是给定一个距离。
函数值和极限点的距离小于给出的数，也就是函数值至少和极限值相距那么近。
就是函数值和极限值的距离。那么根据我们得到的
，我们可以说：
当x和1的距离（或者可以说x和极限点的距离）小于的时候才能满足要求。所以完成了这个数学证明过程。
我把这个方程画出来，有助于理解：
假设时，我们得到：
如果想函数和极限值的距离不超过1，也就是说，所以这段距离是1，如图：
确保函数值和极限值的距离不超过1，只需要取它的三分之一。也就是x和1这段距离是它的三分之一。
或者这么说，把放入图中，可以得到如图：
这样就完成了证明，因为这意味着无论给出什么都可以找到一个
，因为无论给出的是多少，总可以找到对应的
。
所以这就是利用极限的定义。证明了该函数，当x趋近1时的极限值是3。
——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。