UVa 1627 Team them up!

题目

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题目大意

有 $N$ 个人，需要将他们分成两组，使得每个人都被分到其中一组，且要求同组的人相互认识。要求两组成员数尽可能接近。多解时输出任意方案，无解输出No Solution。

注意：若两个人中1认识2，但2是不认识1的！！

思路

设两个组的编号为0和1。因为同组内人是相互认识的，所以若有两个人不是相互认识的，则他们应被分到不同的组。所以，若已知一个人在第0组，则所有不认识他的人都应分到第1组；而不认识这些人的所有人都应该分到第0组……以此类推。是不是有点像二分图？？？

没错！就是二分图。

我们将所有的不相互认识的关系看成一个图，则对于每个连通分量，我们应对它进行二分图判定。注意：若在判定中遇到矛盾，则该问题无解。

举个例子：对于第二个样例，我们可以画出如下的图：

对于连通分量 $\{1,3,4,5\}$ ，若 $1$ 在组0，则可推出 $3,4,5$ 在组1；反之，若 $1$ 在组1，则 $3,4,5$ 在组0。设组0的人数比组1的人数多 $d$ 个，可推出：

可以看到，每个连通分量的两种情况分别对应 $d$ 加或减一个值，而我们的最终目标是让 $d$ 的绝对值尽可能的小。你想到了什么？01背包？？

没错！就是一个01背包问题，只是这个问题没有体积，而重量有正有负。最后我们要找的也不是重量最大，而是最接近0！

记 $d[i]$ 为在一个连通分量内组0比组1的人数多出的人数。

我们定义状态 $f[i][j]$ 为已经考虑到连通分量 $i$ ，且两组相差 $j$ 的情况是否存在，则可列出状态转移方程：

f [i + 1] [j + d [i]] = f [i + 1] [j - d [i]] = 1 (f [i] [j] = 1)

$f[i+1][j+d[i]]=f[i+1][j-d[i]]=1(f[i][j]=1)$

其中，边界条件为 $f[0][0]=0$ 。

注意，因为 $j$ 属于 $[-N,N]$ 中，所以我们需要坐标平移。

最终按绝对值大小枚举答案，判断该状态是否存在。

正解代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int Maxn=100;

int N;
bool G[Maxn+5][Maxn+5];
int ccnt,col[Maxn+5];
vector<int> team[Maxn+5][2];
int diff[Maxn+5];
bool f[Maxn+5][2*Maxn+5];

bool DFS(int u,int c) {
    col[u]=c;
    team[ccnt][c-1].push_back(u);
    for(int v=0;v<N;v++)
        if(u!=v&&!(G[u][v]&&G[v][u])) {
            if(col[v]>0&&col[u]==col[v])
                return false;
            if(!col[v]&&!DFS(v,3-c))
                return false;
        }
    return true;
}//二分图判定
bool BuildGraph() {
    ccnt=0;
    memset(col,0,sizeof col);

    for(int i=0;i<N;i++)
        if(!col[i]) {
            team[ccnt][0].clear();
            team[ccnt][1].clear();
            if(!DFS(i,1))return false;
            diff[ccnt]=team[ccnt][0].size()-team[ccnt][1].size();
            ccnt++;
        }
    return true;
}//对每个连通分量进行判定

void Print(int ans) {
    vector<int> team1,team2;
    for(int i=ccnt-1;i>=0;i--) {
        int t;
        if(f[i][ans-diff[i]+N]) {
            t=0;ans-=diff[i];
        } else {
            t=1;ans+=diff[i];
        }
        for(int j=0;j<team[i][t].size();j++)
            team1.push_back(team[i][t][j]);
        for(int j=0;j<team[i][t^1].size();j++)
            team2.push_back(team[i][t^1][j]);
    }//找出答案
    printf("%d",team1.size());
    for(int i=0;i<team1.size();i++)
        printf(" %d",team1[i]+1);
    puts("");
    printf("%d",team2.size());
    for(int i=0;i<team2.size();i++)
        printf(" %d",team2[i]+1);
    puts("");
}
void Solve() {
    memset(f,false,sizeof f);
    f[0][0+N]=true;

    for(int i=0;i<ccnt;i++)
        for(int j=-N;j<=N;j++)
            if(f[i][j+N]) {
                f[i+1][j+N+diff[i]]=true;
                f[i+1][j+N-diff[i]]=true;
            }
    for(int i=0;i<=N;i++) {
        if(f[ccnt][i+N]) {
            Print(i);
            return;
        }
        if(f[ccnt][N-i]) {
            Print(-i);
            return;
        }
    }/枚举答案位置
}

int main() {
    #ifdef LOACL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d",&N);
        for(int i=0;i<N;i++) {
            int x;
            while(scanf("%d",&x)!=EOF&&x)
                G[i][x-1]=true;
        }

        if(N==1||!BuildGraph())
            puts("No solution");
        //注意特判N=1的情况
        else Solve();
        if(T)puts("");
        memset(G,0,sizeof G);
    }
    return 0;
}

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