数字拆解

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说明

       题目是这样的：
                3 = 2+1 = 1+1+1 所以3有三种拆法
               4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 共五种
               5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1
      共七种

       依此类推，请问一个指定数字NUM的拆解方法个数有多少个？

解法
        我们以上例中最后一个数字5的拆解为例，假设f(n)为数字n的可拆解方式个数，而f(x,y)为使用y以下的数字来拆解x的方法个数，则观察：
         5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1

        使用函式来表示的话：
               f(5) = f(4, 1) + f(3,2) + f(2,3) + f(1,4) + f(0,5)
       其中f(1,4) =f(1,3) +f(1,2) +f(1, 1)，但是使用大于1的数字来拆解1没有意义，所以f(1, 4)=f(1,1)，而同样的， f(0,5)会等于f(0,0)，所以：
               f(5) = f(4, 1) + f(3,2) + f(2,3) + f(1,1) + f(0,0)
        依照以上的说明，使用动态程式规划（ Dynamicprogramming）来进行求解，其中f(4,1)其实就是f(5-1,min(5-1,1))， f(x,y)就等于f(n-y,min(n-x,y))，其中n为要拆解的数字，而min()表示取两者中较小的数。
        使用一个二维阵列表格table[x][y]来表示f(x,y)，刚开始时，将每列的索引0与索引1元素值设定为1，因为任何数以0以下的数拆解必只有1种，而任何数以1以下的数拆解也必只有1种：
        for(i = 0; i < NUM +1; i++){
                 table[i][0] = 1; // 任何数以0以下的数拆解必只有1种
                  table[i][1] = 1; // 任何数以1以下的数拆解必只有1种
           }
      接下来就开始一个一个进行拆解了，如果数字为NUM，则我们的阵列维度大小必须为NUMx(NUM/2+1)，以数字10为例，其维度为10x6我们的表格将会如下所示：
           1 1 0 0 0 0
           1 1 0 0 0 0
           1 1 2 0 0 0
           1 1 2 3 0 0
           1 1 3 4 5 0
           1 1 3 5 6 7
           1 1 4 7 9 0
           1 1 4 8 0 0
           1 1 5 0 0 0
           1 1 0 0 0 0

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

#define NUM 6 // 要拆解的数字
#define DEBUG 0
int main(void)
{
	int table[NUM][NUM / 2 + 1] = { 0 };// 动态规画表格
	int count = 0;
	int result = 0;
	int i, j, k;

	printf("数字拆解\n");
	printf("3=2+1=1+1+1 所以3有三种拆法\n");
	printf("4=3+ 1=2+2=2+ 1+ 1= 1+ 1+ 1+1");
	printf("共五种\n");
	printf("5=4+ 1=3+2=3+ 1+1");
	printf("=2+2+1=2+ 1+ 1+ 1= 1+ 1+1+1+1");
	printf("共七种\n");
	printf("依此类推，求 %d 有几种拆法？ ", NUM);
	// 初始化
	for (i = 0; i<NUM; i++){
		table[i][0] = 1; // 任何数以0以下的数拆解必只有1种
		table[i][1] = 1; // 任何数以1以下的数拆解必只有1种
	}
	// 动态规划
	for (i = 2; i <= NUM; i++){
		for (j = 2; j <= i; j++){
			if (i + j>NUM)// 大于 NUM
				continue; count = 0;
			for (k = 1; k <= j; k++){
				count += table[i - k][(i - k >= k) ? k : i - k];
			}
			table[i][j] = count;
		}
	}
	// 计算并显示结果
	for (k = 1; k <= NUM; k++)
		result += table[NUM - k][(NUM - k >= k) ? k : NUM - k];
	printf("\n\nresult: %d\n", result);
	if (DEBUG) {
		printf("\n除错资讯\n");
		for (i = 0; i < NUM; i++) {
			for (j = 0; j < NUM / 2 + 1; j++)
				printf("%2d", table[i][j]);
			printf("\n");
		}
	}

	system("pause");
	return 0;
}

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