「APIO 2015」八邻旁之桥「权值线段树」

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题解

对于在河同侧的，直接累加进答案。

剩下的直接看做 $m$ 条线段 $l_i,r_i$ （因为桥宽度为 $1$ ，最后加上 $m$ 就行）.

然后当 $k=1$ 时：

就是找到一个 $p$ 来最小化 $\sum_{i=1}^{m} abs(l_i-p)+abs(r_i-p)$

直接找这 $2m$ 个点中位数即可.

然后当 $k=2$ 时：

每个人应该走离线段中点最近的那个桥。

于是先把线段按照线段的中点排序（也就是按 $l_i+r_i$ 排序）。

从左往右枚举一个扫描线，它左边的走桥 $1$ ，右边的走桥 $2$ ，就转化成左右都是 $k=1$ 了，看看扫描线在哪的时候答案最小.

这时候左右分别排序显然时间复杂度无法承受，因此使用权值线段树，把点离散化，每次从右边线段树删两点，加到左边线段树来，然后统计一下左右的代价和是否小于 $ans$

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>

#define px first
#define py second

typedef long long LL;
typedef std :: pair<int, int> P;

const int N = 1e5 + 20;

int k, n, cnt;
LL ans;
P a[N];

void solve1() {
    static std :: vector<int> vec;
    vec.clear();
    for(int i = 1; i <= cnt; i ++) {
        vec.push_back(a[i].px);
        vec.push_back(a[i].py);
    }
    std :: sort(vec.begin(), vec.end());
    for(int i = 1; i <= cnt; i ++) ans -= vec[i - 1];
    for(int i = cnt + 1; i <= cnt << 1; i ++) ans += vec[i - 1];
    printf("%lld\n", ans);
}

bool cmp(const P & a, const P & b) {
    return a.px + a.py < b.px + b.py;
}

LL pos[N << 4], len;

struct Seg {
    int sz[N << 4];
    LL sum[N << 4];
    Seg() {
        memset(sz, 0, sizeof sz);
        memset(sum, 0, sizeof sum);
    }
    int kth(int k, int l, int r, int rk) {
        if(l == r) return l;
        int mid = l + r >> 1;
        if(rk <= sz[k << 1]) return kth(k << 1, l, mid, rk);
        return kth(k << 1 | 1, mid + 1, r, rk - sz[k << 1]);
    }
    void modify(int k, int l, int r, int p, int val) {
        if(l == r) {
            sum[k] += 1ll * pos[l] * val;
            sz[k] += val; 
            return ;
        }
        int mid = l + r >> 1;
        if(p <= mid) modify(k << 1, l, mid, p, val);
        else modify(k << 1 | 1, mid + 1, r, p, val);
        sz[k] = sz[k << 1] + sz[k << 1 | 1];
        sum[k] = sum[k << 1] + sum[k << 1 | 1];
    }
    LL querysz(int k, int l, int r, int L, int R) {
        if(l > R || r < L) return 0;
        if(L <= l && r <= R) return sz[k];
        int mid = l + r >> 1;
        return querysz(k << 1, l, mid, L, R) \
        + querysz(k << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
    }
    LL querysum(int k, int l, int r, int L, int R) {
        if(l > R || r < L) return 0LL;
        if(L <= l && r <= R) return sum[k];
        int mid = l + r >> 1;
        return querysum(k << 1, l, mid, L, R) \
        + querysum(k << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
    }
} le, ri;

void solve2() {
    std :: sort(a + 1, a + cnt + 1, cmp);
    std :: sort(pos + 1, pos + len + 1);
    len = std :: unique(pos + 1, pos + len + 1) - (pos + 1);
    for(int i = 1; i <= cnt; i ++) {
        a[i].px = std :: lower_bound(pos + 1, pos + len + 1, a[i].px) - pos;
        a[i].py = std :: lower_bound(pos + 1, pos + len + 1, a[i].py) - pos;
        ri.modify(1, 1, len, a[i].px, 1);
        ri.modify(1, 1, len, a[i].py, 1);
    }
    LL ans2 = 1e18;
    for(int i = 1; i <= cnt; i ++) {
        le.modify(1, 1, len, a[i].px, 1);
        le.modify(1, 1, len, a[i].py, 1);
        ri.modify(1, 1, len, a[i].px, -1);
        ri.modify(1, 1, len, a[i].py, -1);
        int mid1 = le.kth(1, 1, len, i);
        int mid2 = ri.kth(1, 1, len, cnt - i);

        LL cl = le.querysz(1, 1, len, 1, mid1) * pos[mid1] - le.querysum(1, 1, len, 1, mid1) + \
        le.querysum(1, 1, len, mid1 + 1, len) - le.querysz(1, 1, len, mid1 + 1, len) * pos[mid1];
        LL cr = ri.querysz(1, 1, len, 1, mid2) * pos[mid2] - ri.querysum(1, 1, len, 1, mid2) + \
        ri.querysum(1, 1, len, mid2 + 1, len) - ri.querysz(1, 1, len, mid2 + 1, len) * pos[mid2];
        if(cl + cr < ans2) ans2 = cl + cr;
    }
    printf("%lld\n", ans + ans2);
}

int main() {
    char s1[5], s2[5];
    scanf("%d%d", &k, &n);
    for(int i = 1, u, v; i <= n; i ++) {
        scanf("%s%d%s%d", s1, &u, s2, &v);
        if(* s1 == * s2) {
            ans += std :: abs(u - v);
            continue ;
        }
        if(u > v) std :: swap(u, v);
        ++ ans;
        pos[++ len] = u;
        pos[++ len] = v;
        a[++ cnt] = P(u, v);
    }
    if(!cnt) return printf("%lld\n", ans), 0;
    k == 1 ? solve1() : solve2();
    return 0;
}

「APIO 2015」八邻旁之桥「权值线段树」

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