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核函数也就是一种函数，本质上跟其他常见的函数（如幂函数）是一样的。我们知道，幂函数有它的特点，形如的函数才能称为幂函数。同样，核函数也有他的特点，只不过它的特点更复杂一点，满足以下要求的函数才能称为核函数（定理）：
令为输入空间，
是定义在
上的对称函数，则
是核函数当且仅当对于任意数据
，核矩阵K总是半正定的：
.
上面的定理表明，只要一个对称函数对应的核矩阵半正定，它就能作为核函数。
常用的核函数有：
核函数的作用，就一句话：计算样本在高维空间的内积。
假如出于某些原因，我们要将样本从原始空间映射到高维空间（如在低维空间样本线性不可分，需要映射到高维空间产生线性可分的样本）。假设映射为，
表示x映射后的特征向量。假设在高维空间中，正好涉及到计算内积：
。这时，就可以引入核函数（涉及选择什么核函数）：
.
上式将在高维空间的内积转化到在原始空间计算。那为什么不直接在映射后的高维空间计算？原因有两点：
- 通常我们不知道映射
的具体形式；
- 映射后的空间维数可能非常高，甚至无限维，直接计算开销太大，十分困难.
这就是核函数的作用。
上面提到有5种常用的核函数，选择了不同的核函数，意味选择了不同的某种映射。因为我们不知道映射的具体形式，所以我们并不知道什么样的核函数合适。核函数的选择成为算法的“变数”。
核函数的选择有一些基本经验：例如对文本数据通常采用线性核，情况不明时可先尝试高斯核。线性核和高斯核也是最为常用的核函数。
参考资料：周志华《机器学习》