Subset sequence

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Problem Description

Consider the aggregate An= { 1, 2, …, n }. For example, A1={1}, A3={1,2,3}. A subset sequence is defined as a array of a non-empty subset. Sort all the subset sequece of An in lexicography order. Your task is to find the m-th one.

Input

The input contains several test cases. Each test case consists of two numbers n and m ( 0< n<= 20, 0< m<= the total number of the subset sequence of An ).

Output

For each test case, you should output the m-th subset sequence of An in one line.

Sample Input

    1 1 2 1 2 2 2 3 2 4 3 10 
  

Sample Output

    1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 
  

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校庆杯Warm Up

#include<stdio.h>
int main()
{
	int n,i,t;
	int s[21];
	long long m;
	long long g[21]={0};
	for(i=1;i<21;i++)
		g[i]=(i-1)*g[i-1]+1;//推导出来的g(n) = (n-1) * g(n-1) + 1  
	while(scanf("%d%lld",&n,&m)!=EOF)
	{
		for(i=0;i<21;i++)
		  s[i]=i;//每循环一次就重新归位每组首元素
		while(n>0&&m>0)
		{
			t=m/g[n]+(m%g[n]>0?1:0);
			if(t>0)//得到第m个子集在分组后的第t组
			{
				printf("%d",s[t]);
				for(i=t;i<=n;i++)
					s[i]=s[i+1];//或s[i]+=1,我们发现，第n组中，第2个元素在第n个时变为他的下一个数
				m-=((t-1)*g[n]+1);//减去（t-1组总子集数+1）m变为表示在剩余子集中位于第几个
				putchar(m==0?'\n':' ');
			} 
			n--;
		}
	}
	return 0;
 }

PS:参照了别人的博客，才理解了这个题。

解题思路：

首先我们来看看An一共有多少个子集。

n=1时,只有{1}一个子集合
n=2时，就有:
{1}, {2},
{1, 2}, {2, 1}
4个子集合。

n=3时，有
{1}, {2}, {3},
{1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2},
{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}

也许你发现规律了。An子集合的个数为:
C ¹ _n ·A ¹ ₁ + C ² _n ·A ² ₂ + ... + C ⁿ _n ·A ⁿ _n
这个公式是对的。但我们换个角度看。

n=3时，有
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
{1, 3}
{1, 3, 2}
{2}
{2, 1}
{2, 1, 3}
{2, 3}
{2, 3, 1}

{3}
{3, 1}
{3, 1, 2}
{3, 2}
{3, 2, 1}

不难发现，An可以按首数字分成n组，而每组里除了第一项，剩下的就是An-1的子集合了。
∴f(n) = n[f(n-1) + 1]
f(1) = 1

其实就是对于每一位i的下一位i-1，需要有两种考虑方式，一是后面为空作为第一个出现，二是后面不空即对第i位后面有i-1个数可以选择，也就是从2--i ，对于每个位若后面只有一个可选的情况此时算上空位总共i个。但是如果考虑每一位后面就要相乘，即递归关系。

不难得出:

g(n) = f(n) / n   //g（n）为每一位后面总共有多少种排列（按序）1
∵f(n) = n[f(n-1) + 1] //2
∴g(n) = n[f(n-1) + 1] / n = f(n-1) + 1 //3
∵f(n-1) = (n-1) * g(n-1)   //g(n) =f(n-1) + 1 //4
∴g(n) = (n-1) * g(n-1) + 1   //代入3式 //5

HDUOJ 2062 Subset sequence

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