[Luogu P1169] [BZOJ 1057] [ZJOI2007]棋盘制作

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题目描述

国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想，棋盘是一个 $8 \times 8$ 大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。

而我们的主人公小Q，正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友小W决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。

小Q找到了一张由 $N \times M$ 个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种颜色之一。小Q想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。

不过小Q还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。

于是小Q找到了即将参加全国信息学竞赛的你，你能帮助他么？

输入输出格式

输入格式：

包含两个整数 $N$ 和 $M$ ，分别表示矩形纸片的长和宽。接下来的 $N$ 行包含一个 $N \ \times M$ 的 $01$ 矩阵，表示这张矩形纸片的颜色（ $0$ 表示白色， $1$ 表示黑色）。

输出格式：

包含两行，每行包含一个整数。第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积，第二行为可以找到的最大矩形棋盘的面积（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

4
6

说明

对于 $20\%$ 的数据， $N, M ≤ 80$

对于 $40\%$ 的数据， $N, M ≤ 400$

对于 $100\%$ 的数据， $N, M ≤ 2000$

解题分析

显然是 $O(N^2)$ 的 $dp$ 。我们先预处理出第 $i$ 行第 $j$ 列向左、向右连通块最多能扩展到哪里，分别用 $lef[i][j]、rig[i][j]$ 表示，然后枚举每个格子，尝试向上扩展，若可以扩展就计算出最多向上可以到达的高度，并将 $lef[i][j]、rig[i][j]$ 相应取 $max、min$ 。

乍一看好像这样不对，忽略了取当前行，不向上扩展的情况，然而我们看下面这张图：

每种情况都是被考虑的，只是在不同的位置向上扩展得到。

当然也有可能并没考虑只包含当前一行的时候，这时候这一行都可以向上扩展，自然只取一行不优了…

正方形面积就取左右宽度和上下高度的 $min$ ，再平方，长方形面积就直接乘起来就好。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 2005
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    for (; !isdigit(c); c = gc);
    for (;  isdigit(c); c = gc)
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
IN int sqr(R int x) {return x * x;}
int up[MX][MX], lef[MX][MX], rig[MX][MX], mp[MX][MX];
int n, m, siza, sizb, wid, het;
int main(void)
{
    in(n), in(m);
    for (R int i = 1; i <= n; ++i)
    for (R int j = 1; j <= m; ++j)
    {
        in(mp[i][j]);
        lef[i][j] = rig[i][j] = j, up[i][j] = 1;
    }
    for (R int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (R int j = 2; j <= m; ++j)
        if(mp[i][j] ^ mp[i][j - 1]) lef[i][j] = lef[i][j - 1];
    }
    for (R int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (R int j = m - 1; j; --j)
        if(mp[i][j] ^ mp[i][j + 1]) rig[i][j] = rig[i][j + 1];
    }
    for (R int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (R int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            if(i != 1 && mp[i][j] ^ mp[i - 1][j])//注意第一行无法扩展
            {
                lef[i][j] = std::max(lef[i - 1][j], lef[i][j]);
                rig[i][j] = std::min(rig[i - 1][j], rig[i][j]);
                up[i][j] = up[i - 1][j] + 1;
            }
            wid = rig[i][j] - lef[i][j] + 1;
            het = std::min(wid, up[i][j]);
            siza = std::max(siza, sqr(het));
            sizb = std::max(sizb, wid * up[i][j]);
        }
    }
    printf("%d\n%d", siza, sizb);
}