【模板】最优比率环

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参考题目：POJ3621

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解析：

相信在看这篇文章的你一定会0/1分数规划。

那么我的讲解就此开始。
首先，如同所有$0/1$分数规划，考虑二分。

问题是这样的：考虑找出一个环使得$\frac{\sum F}{\sum w}$最大

那么我们二分出的答案如何检验是否是合法的呢？

设我们二分出的答案为$\lambda$。

若是最优解，则有

$$\lambda=\frac{\sum F}{\sum w}$$ $$\sum w*\lambda-\sum F=0$$

那么，如果我们再把一个点拆成两个（不需要在代码中体现，只是辅助思路），使得$i$与$i^\text{`}$之间有一条双向边，权值为$-F_i$，图中原有的边权值为$w*\lambda$。

那么问题就变成了我们在这个新图上面求一个负环。如果存在负环，说明可以通过增大$\lambda$使得这个负环变为0环。即我们目前的不是最优情况。否则我们目前二分的答案必然大于等于最优解。

这道题是典型的不适合用$DinkelBach$,虽然说可做，但不是很好写。

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代码（二分）：

#include<cstring>
#include<queue>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const
#define st static

inline
int getint(){
    re int num=0;
    re bool f=1;
    re char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=gc();}
    while(isdigit(ch))num=(num<<3)+(num<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?num:-num;
}

int last[1001],nxt[5001],to[5001],w[5001],ecnt;
inline
void addedge(int u,int v,int val){
    nxt[++ecnt]=last[u],last[u]=ecnt,to[ecnt]=v,w[ecnt]=val;
}

int n;
int F[1001];
double dist[1001];
bool vis[1001];
inline
bool Spfa(int u,cs double &k){
    vis[u]=true;
    for(int re e=last[u],v=to[e];e;v=to[e=nxt[e]])
    if(dist[v]>dist[u]+k*w[e]-F[u]){
        if(vis[v])return true;
        dist[v]=dist[u]+k*w[e]-F[u];
        if(Spfa(v,k))return true;
    }
    vis[u]=false;
    return false;
}

inline
bool check(cs double &k){
    memset(dist,0,sizeof dist);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    for(int re i=1;i<=n;++i)if(Spfa(i,k))return true;
    return false;
}

int m;
signed main(){
    n=getint();
    m=getint();
    for(int re i=1;i<=n;++i)F[i]=getint();
    for(int re i=1;i<=m;++i){
        int u=getint(),
        v=getint(),
        val=getint();
        addedge(u,v,val);
    }
    double l=0.0,r=100000.0;
    while(r-l>1e-4){
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid))l=mid;
        else r=mid;
    }
    printf("%.2f",l);
    return 0;
}