两个小题

上数学课突然联想到了俩小毒瘤题,来与大家分享.

已知f(x)值域为R,且任意对于x1,x2∈R都有f(x1)+2>-f(x2)恒成立.
求f(x)能取到的范围?

已知f(x)值域为R,f(0)=1.
且对于x1,x2∈R都有f(x1)+2>f(x2)恒成立.
求f(x)能取到的范围?

1.
(-1,+∞)
2.
(-1,3)

答案

第一道题,f(x1)+2随f(x1)减小而减小.那么左边表示f(x)的最小值+2大于左边
这个式子的右边-f(x)随f(x)减小而增大,那么它就要求最小值的相反数小于右边
综上,上式可以转化为
min(f(x))+2>-min(f(x))
min(f(x))>-1
f(x)只能取到(-1,+∞)

第二题
本来f(x1)+2>=f(x2)通过和上面差不多的改变后要求
min(f(x))+2>=max(f(x))
也就是说f(x)极值之间的差不大于2就好,随便取.
加上一个f(0)=1后会变得小很多.
此时max(f(x))不能再取到3以上了,否则不满足极值之间差小于2
同理,min(f(x))不能小于-1.
f(x)能取到(-1,3)

证明

 这个时候突然想到一句名言

小心猜测

大胆使用

不用证明