P3538 [POI2012]OKR-A Horrible Poem

传送门

哈希

首先要知道一个结论：

判断一个串s中长度为k的串是不是循环节的充分必要条件是：

s[1]~s[len-k] = s[k] ~ s[len] 并且 len%k=0

怎么证明呢

如图：

显然红色的串=s1（因为s[1]~s[len-k] = s[k] ~ s[len]）

同样s1=s2，s2=s3

显然只要有重复串就一定会形成类似的这种情况

所以我们就可以利用这点来O(1)判断该串是否为循环节

但是如果枚举长度k

时间无法承受

考虑如何优化

可以发现 len 一定是 k 的倍数

可以利用这一点来搞优化

把 len 从小到大枚举质因数

那么显然 k 一定是其中几个质因数的乘积

要如何找出最小的 k 呢

我们可以把 len 分别除以它的所有质因数

如果长度为 len/prime_a 的串是循环节

那么就把 len除以prime_a 然后继续枚举其他质因数

尝试能否再次减小len

最后的 len 就是我们要找的 k

怎么从大到小枚举 len 的质因数也容易

用欧拉筛的时候我们可以得到每个数的最小质因数（记为nex[ i ]）

只要不断把 nex [ len ] 记录下来然后 len /= nex [ len ] 就行了

总复杂度约为O(q log n)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int N=1000007;
const int base=23333;

int n,m,a[N],l,r;
int t[N],tot,nex[N];

ull h[N],fac[N];
char s[N];

int pri[N],cnt;
bool not_pri[N];
inline void prenex()//欧拉筛预处理nex
{
    not_pri[1]=1; nex[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!not_pri[i])
            pri[++cnt]=i,nex[i]=i;
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            long long g=(long long)i*pri[j];
            if(g>n) break;
            not_pri[g]=1;
            nex[g]=pri[j];
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}
inline bool pd(int la,int ra,int lb,int rb)
//判断串s[la]~s[ra]是否等于s[lb]~s[rb]
{
    ull h1=h[ra]-h[la-1]*fac[ra-la+1];
    ull h2=h[rb]-h[lb-1]*fac[rb-lb+1];
    return h1==h2;
}
int main()
{
    cin>>n;
    prenex();
    scanf("%s",s+1);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=s[i]-'0';
        h[i]=h[i-1]*base+a[i];
        fac[i]=fac[i-1]*base;
    }//预处理哈希值
    cin>>m;
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        int len=r-l+1,tot=0;
        while(len!=1)
        {
            t[++tot]=nex[len];
            len/=nex[len];
        }//从小到大找出len的质因数
        len=r-l+1;
        for(int i=1;i<=tot;i++)
        {
            int g=len/t[i];
            if(pd(l,r-g,l+g,r))
                len=g;
        }//尝试减小len
        printf("%d\n",len);
    }
    return 0;
}

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