第七次翻译

zeta函数提供了将质的问题变为量的问题的分析方法。中心内容为“显式公式”。
这个方面可以追溯到Riemann（黎曼）的记事录中的发现---素数的第三种形式，
亦即黎曼zeta函数的零点。一般情况中，算术函数与zeta函数零点间存在着某种
二元关系。已证明的和被猜测的zeta零点性质，通过显式公式，可以转换为算术方法。
这种二元关系是现代数论的核心。
    模形式从欧拉和雅可比时期就被人所知了。从它可以得出一些漂亮的数理论结论。
对比theta级数的傅里叶系数和它的艾森斯坦级数与尖点形式的线性组合的分解，可以
得出一些重要的性质。最近几十年，我们意识到，模形式通过梅林变换也可以得到一些
zeta函数的一些重要性质。
    有很多重要材料我们在这里不列出了，因为这些资料是海量的。还有些经典的工具，
如：哈迪利特伍德圆法和维诺格拉多夫的指数和方法，我们也略去了。如果要阅读，请
参考Vau81-97，Kar75。我们偶尔在丢番图估值和超越数中会提几句。特别是在格尔丰
德贝克和格尔丰德-施奈德方法中会提几句，参考FelNes98,Bak86,BDGP96,Wald2000,
Ch-L01,Bo90等等。
    罗伯特·朗兰兹为关于所有代数数的伽罗瓦群结构做了很多工作，还有一些关于zeta
函数与模形式的伽罗瓦群重要的猜想。
    最后，在第二部分的末尾，我们展示怀尔斯如何使用代数数论，环论，代数几何和
伽罗瓦形式变形理论，来证明Fermat大定理以及shimura taniyama-weil猜想。
（涉及到很多数学家的思想和理论，不列出了）。这个证明结束了数论的长期瓶颈，开启
了关于朗兰兹理论的新时期。taniyama-weil猜想是朗兰兹关于代数变量与伽罗瓦形式和
自同构形式关系的猜想的特殊例子。