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本篇博客用于整理一些训练过程中学习到的新知识、新套路。
目录
- 曼哈顿距离与切比雪夫距离的相互转化
- prufer序列
1. 曼哈顿距离 与 切比雪夫距离 的相互转化
曼哈顿距离
|x1−x2|+|y1−y2|=max(x1−x2+y1−y2,x1−x2−y1+y2,−x1+x2+y1−y2,−x1+x2−y1+y2)
与某一个点的曼哈顿距离均为d的所有点构成了一个以该点为中心的对角线长度为2d的菱形。
切比雪夫距离
max(|x1−x2|,|y1−y2|)=max(x1−x2,x1+x2,y1−y2,y1+y2)
与某一个点的切比雪夫距离均为d的所有点构成了一个以该点为中心的边长为2d的正方形。
两种距离之间的转化
由于两种等距离的形状均为正方形，因此可以通过旋转坐标系来互相转化。
(1)曼哈顿距离->切比雪夫距离
将所有的点做变换
(x,y)
->
(x+y,x−y)
。
证明
令
x3=x1+y1,y3=x1−y1,x4=x2+y2,y4=x2−y2
|x1−x2|+|y1−y2|=max(x1−x2+y1−y2,x1−x2−y1+y2,−x1+x2+y1−y2,−x1+x2−y1+y2)=max(x3−x4,y3−y4,−y3+y4,−x3+x4)=max(|x3−x4|,|y3−y4|)
(2)切比雪夫距离->曼哈顿距离
将所有的点做变换
(x,y)
->
(x+y2,x−y2)
。
证明
令
x3=x1+y12,y3=x1−y12,x4=x2+y22,y4=x2−y22
max(|x1−x2|,|y1−y2|)=max(x1−x2,−x1+x2,y1−y2,−y1+y2)=max(x3+y3−x4−y4,−x3−y3+x4+y4,y3−x3+y4−x4,−y3+x3−y4+x4)=|x3−x4|+|y3−y4|
2.prufer序列
定义
prufer序列是一颗带编号的无根树的编码表示方式，一颗具有
n
个节点的带编号的无根树有唯一的长为
n−2
的prufer序列。
因为每种带编号的无根树对应唯一的prufer序列，所以prufer序列也被用作无根树的计数。
–如下图的无根树的prufer序列为–
3,5,1,3
1.如何从一个无根树得到prufer序列？
找树的编号最小的叶子节点，然后将与叶子节点相连的节点编号加入到prufer序列中去，然后删掉这个叶子节点。重复上述过程直到树上只剩2个节点为止，即得到长为
n−2
的prufer序列。
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显然prufer序列是唯一的。
2.如何从prufer序列恢复一颗无根树？
找到prufer序列中未出现过的，编号最小的点，这个点即为最远一次被删除掉的，把这个点与prufer序列中的第一个点相连，并弹出prufer中的这个点，重复上述操作，prufer序列处理完成后，剩余两个点直接连到一起即可。
3.重要性质
1. prufer序列中每个编号出现的次数+1等于该编号的点在无根树中的度数。
2.
n
个点的无向完全图计数为
n(n−2)
3.
n
个点，每个点的度数为
D1,D2,...,Dn
，则prufer序列的种数为
(n−2)!(D1−1)!(D2−1)!...(Dn−1)!
例题
n
个点中，其中有
m
个点的度数是未知的，求生成树的种数？
记
remain
为剩余出现次数
remain=(n−2)−(Di1−1)−(Di2−1)−...−(Din−m−1)
先把
m
个点看成是一种点。
这样答案就是
(n−2)!(Di1−1)!(Di2−1)!...(Din−m−1)!remain!
而实际上剩余次数
remain
里面的点可以随意填，形成各种不同的排列，即答案要乘以
mremain
因此最终的答案就是：
(n−2)!(Di1−1)!(Di2−1)!...(Din−m−1)!remain!mremain
其他计数类型
1.有标号有根树的计数
nn−2∗n=nn−1
2.无标号无根树的计数
3.无标号有根树的计数