B树 学习笔记2 - B树上的基本操作

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接上，算法导论 - 18章-2 B树上的基本操作
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本节将给出 B-TREE-SEARCH、B-TREE-CREATE 和 B-TREE-INSERT 操作的细节。在这些过程中，我们采用两个约定：

$\quad$$\quad$1. B树的根结点始终在主存中，这样无需对根做 DISK-READ 操作；然而，当根结点被改变后，需要对根结点做一次 DISK-WRITE 操作。

$\quad$$\quad$2. 任何被当做参数的结点在被传递之前，都要对它们做一次 DISK-READ 操作。我们给出的过程都是“单程”算法，即它们从树的根开始向下，没有任何返回向上的过程。
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搜索B树
$\quad$根据结点的孩子做多路选择。即做 $(x.n+1)$ 路选择
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B-TREE-SEARCH 是 BST 搜索的直接推广，它的输入是一个某结点的指针，以及要在该子树中搜索的一个关键字 $k$ 。顶层调用标准为 B-TREE-SEARCH( $T.root,\ k$ )。
如果 $k$ 在 B树中，那么返回的是一个有序对( $y,\ i$ )，其中 $y.key_i=k$ ；否则返回 NIL。
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B-TREE-SEARCH( $x,\ k$ )

说明：
$\quad$第 1-3 行找出下标 $i$ ，使得 $k\le x.key_i$ ，
$\quad$第 4-5 行检查是否已经找到关键字。
$\quad$第 6-7 行检查是叶结点，返回NIL。
$\quad$第 8-9 行向下递归搜索。
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$\quad$总的CPU时间是 $O(t\ log_tn)$
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创建一棵空的 B树
$\quad$先用 B-TREE-CREATE 来创建一个空的结点，然后调用 B-TREE-INSERT 来添加新的关键字。这些过程都要用到一个辅助过程 ALLOCATE-NODE，它在 $O(1)$ 时间内为一个新结点分配一个磁盘页。
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B-TREE-CREATE( $T$ )

B-TREE-CREATE( $T$ ) 需要 $O(1)$ 次的磁盘操作和 $O(1)$ 的CPU时间。
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向 B树中插入一个关键字
$\quad$将新关键字插入到一个已经存在的叶节点上。
$\quad$若满，则分裂，将中间关键字 $y.key_t$ 提升到其父结点 $x$ 。
$\quad$为了避免分裂沿树向上传播，在向下查找新的关键字时，就分裂沿途遇到的每个满结点(包括叶结点本身)。
$\quad$因此，每当要分裂一个满结点 $y$ 时，就能确保它的父节点不是满的。
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分裂 B树中的结点
$\quad$过程 B-TREE-SPLIT-CHILD 的输入是一个非满的内部结点 $x$ (假定在主存中)和一个使 $x.c_i$ (也假定在主存中)为 $x$ 的满子结点的下标 $i$ 。该过程把这个子结点分裂成两个，并调整 $x$ ，使之包含多出来的孩子。
$\quad$要分裂一个满的根，首先要让根称为一个新的空根结点的孩子，这样才能使用 B-TREE-SPLIT-CHILD 。树的高度因此增加1。
$\quad$分裂根是树长高的唯一途径。

B-TREE-SPLIT-CHILD( $x,\ i$ ) $\quad$$\quad$分裂 $x.c_i$

开始时，结点 $y$ 有 $2t$ 个孩子( $2t-1$ 个关键字)，在分裂后减少至 $t$ 个孩子( $t-1$ 个关键字)。结点 $z$ 拿走 $y$ 的 $t$ 个最大的孩子(后半部分)，并且 $z$ 成为 $x$ 的新孩子，它在 $x$ 的孩子列中仅位于 $y$ 之后。$y$ 的中间关键字上升到 $x$ 中，成为分隔 $y$ 和 $z$ 的关键字。
代码说明：
$\quad$第 1-9 行创建结点 $z$ ， 并将 $y$ 的 $t-1$ 个关键字以及相应的 $t$ 的孩子给它。
$\quad$第 10 行调整 $y$ 的关键字个数。
$\quad$第11-17 行将 $z$ 插入为 $x$ 的孩子，并提升 $y$ 的中间关键字到 $x$ 来分隔 $y$ 和 $z$ ，然后调整 $x$ 的关键字个数。
$\quad$第 18-20 行写回所有被修改过的磁盘页面。

B-TREE-SPLIT-CHILD 占用的CPU时间为 $\Theta(t)$ ，并执行 $O(1)$ 次磁盘操作。
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以沿树单程向下方式向 B树插入关键字
$\quad$B-TREE-INSERT( $T,\ k$ )
$\quad$以沿树单程下行方式插入一个关键字 $k$ 。
$\quad$需要 $O(h)$ 次磁盘存取。所需CPU时间为 $O(th)=O(tlog_tn)$
$\quad$过程 B-TREE-INSERT 利用 B-TREE-SPLIT-CHILD 来保证递归始终不会降至一个满结点上。

$\quad$第 3-9 行处理了根结点 $r$ 为满的情况：根结点分裂，一个新的结点 $s$ (有两个孩子)成为根。(对根进行分裂是增加 B树高度的唯一途径)。
$\quad$过程通过调用 B-TREE-INSERT-NONFULL 完成将关键字 $k$ 插入以非满的根结点为根的树中。
$\quad$B-TREE-INSERT-NONFULL 在需要时沿树向下递归，在必要时通过调用 B-TREE-SPLIT-CHILD 来保证任何时刻它所递归处理的结点都是非满的。

辅助的递归过程 B-TREE-INSERT-NONFULL 将关键字 $k$ 插入结点 $x$ ，要求假定在调用该过程时 $x$ 是非满的。操作 B-TREE-INSERT 和 B-TREE-INSERT-NONFULL 保证这个假设成立。

$\quad$第 2 行判断是否为叶结点。
$\quad$第 3-8 行处理 $x$ 是叶结点的情况，将关键字 $k$ 插入 $x$ 。
$\quad$$\quad$$\quad$若是叶结点，从右端开始右移，并找到合适位置，并调整 $x$ 的参数，最后写回磁盘。
$\quad$若不是叶结点，则判断插入位置
$\quad$第 9-11 行计算应插入的子结点的位置( $k\ge x.key_i$ 则应插入到 $c_{i+1}$ )
$\quad$第 13 行检查是否为满结点。
$\quad$若是满结点，第 14 行调用分裂函数。
$\quad$第 15-16 行判断分裂出来的两个结点选择哪一个。
$\quad$(注：即使i++，也无需DISK-READ，因为刚刚分裂的两个结点都在主存中)
$\quad$第 17 行递归地将 $k$ 插入合适的子树中。
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对一棵高度为 $h$ 的 B树来说，B-TREE-INSERT 要做 $O(h)$ 次磁盘存取。所占用的CPU总时间为 $O(th)=O(tlog_tn)$ 。因为 B-TREE-INSERT-NONFULL 是尾递归的，所以它也可以用一个 while 循环来实现，从而说明了在任何时刻，需要留在主存中的页面数为 $O(1)$ 。

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