T1锻造 (forging)

1.1 题目背景

勇者虽然武力值很高,但在经历了多次战斗后,发现怪物越来越难打
于是开始思考是不是自己平时锻炼没到位,于是苦练一个月后发现......自己连一个史莱姆都打不过了。
勇者的精灵路由器告诉勇者其实是他自己的武器不好,并把他指引到了锻造厂。

1.2题目描述

“欢迎啊,老朋友。”
一阵寒暄过后,厂长带他们参观了厂子四周,并给他们讲锻造的流程。
“我们这里的武器分成若干的等级,等级越高武器就越厉害,并且对每一等级的武器都有两种属性值 b 和 c,但是我们初始只能花 a 个金币来生产 1 把 0 级剑......”
“所以你们厂子怎么这么垃圾啊,不能一下子就造出来 999 级的武器吗?”勇者不耐烦的打断了厂长的话。
“别着急,还没开始讲锻造呢......那我们举例你手中有一把 x 级武器和一把 y 级武器 (y = max(x − 1, 0)),我们令锻造附加值 k = min(c x , b y ),则你有 $\frac{c_x}{k}$ 的概率将两把武器融合成一把 x + 1 级的武器。”
“......但是,锻造不是一帆风顺的,你同样有 $1 − \frac{c_x}{k}$ 的概率将两把武器融合成一把 max(x − 1, 0) 级的武器......”
勇者听完后暗暗思忖,他知道厂长一定又想借此机会坑骗他的零花钱,于是求助这个村最聪明的智者——你,来告诉他,想要强化出一把 n 级的武器,其期望花费为多少?
由于勇者不精通高精度小数,所以你只需要将答案对 998244353(7 ×17 × 2 23 + 1,一个质数 ) 取模即可。

1.3 格式

1.3.1 输入格式

第一行两个整数 n, a,含义如题所示。
为了避免输入量过大,第二行五个整数 bx, by, cx, cy, p,按照下列代码
来生成 b 和 c 数组。

b[0]=by+1;c[0]=cy+1;
for(int i=1;i<n;i++){
    b[i]=((long long)b[i-1]*bx+by)%p+1;
    c[i]=((long long)c[i-1]*cx+cy)%p+1;
}

1.3.2 输出格式

输出一行一个整数,表示期望花费。

1.4 样例

1.4.1 样例 1 输入

0 6432
4602677 3944535 2618884 6368297 9477531

1.4.2 样例 1 输出

6432

1.4.3 样例 2 输入

1 3639650
6136976 5520115 2835750 9072363 9302097

1.4.4 样例 2 输出

150643649

1.4.5 样例 3 输入

10 2
2 33 6 66 2333333

1.4.6 样例 3 输出

976750710

1.4.7 样例 4 输入

200 5708788
0 0 0 0 1

1.4.8 样例 4 输出

696441597

1.5数据范围

测试点	n<=	特殊性质
1	0	n/a
2	1	n/a
3	200	有
4	200	n/a
5	2000	有
6	2000	a/n
7	$10^6$	有
8	$10^6$	n/a
9	$10^7$	有
10	$10^7$	n/a

对于特殊性质处标示为“有”的数据满足 p = 1。
对于 100% 的数据,0 ≤ a ≤ $10^7$ , 0 ≤ bx, by, cx, cy < p < $10^7$ , 0 ≤ n ≤$10^7$

啥?期望?不会下一题
(回来之后
p==1好像可以瞎搞搞过去...
好像b和c数组全是1??
好像是fib??
40分到手
n==0好像就是a??
又10分
数据范围好像有点大???
long long不够开??
啊少10分
(全场5-6人全开long long 的得到了0分的好成绩emm...
事后出题人:啥?256M还过不了??long long ?? int 就行了啊

正解:
期望dp+线性逆元
前置问题: 抛一枚硬币,抛到正面停止,否则继续抛,问期望抛多少次?
\[ x=1+\frac{x}{2}\]
同理(不知道哪来的理请去重学期望)可以最终得到
$$f[i] = c[i - 1] * inv[min(c[i - 1], b[i - 2])]*f[i - 1] + f[i - 2]
前面O(n)预处理一下逆元就好啦
这位~~卡空间的毒瘤?~~出题人在最后写道:这应该是一道全场A穿题

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int p=998244353;
const int N=1e7+5;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
int inv[N],b[N],c[N],f[N];
inline int sub(int x,int y){
    x-=y;if(x<0)x+=p;return x;
}
int main(){
    freopen("forging.in","r",stdin);freopen("forging.out","w",stdout);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    
    int n=read();f[0]=read();
    int bx=read(),by=read(),cx=read(),cy=read(),mod=read();
    b[0]=by+1;c[0]=cy+1;
    for(int i=1;i<n;i++){
    b[i]=((ll)b[i-1]*bx+by)%mod+1;
    c[i]=((ll)c[i-1]*cx+cy)%mod+1;
    }
    f[1]=(ll)((ll)c[0]*inv[min(b[0],c[0])]%p+1)*f[0]%p;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    f[i]=((ll)c[i-1]*inv[min(b[i-2],c[i-1])]%p*f[i-1]%p+f[i-2])%p;
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}

九校联考-DL24凉心模拟Day2T1