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线性代数回顾
曲线概念
线性代数回顾
我们要开始接触直线斜率的概念了，证明了开始要学习导数了，
这里我们会做一个自理，顺便回顾一下线性代数的知识。
怎么求一条直线的斜率呢？如图：
首先，这个直线方程是：f(x) = mx + b。（其实m就是斜率）
我们的方法是在直线取两点：
x = a，把a代入方程，所以y=f(a)。
x = b，把b代入方程，所以y=f(b)。如图：
那我们怎么求两点的斜率？也就是求这条直线的斜率。
（注意：直线任意点的斜率都是同一个常数）
斜率等于上高度比上跨度。如果你刚学线性代数时你们会看这个定义。
另一种方法：斜率等于y增量比上x增量。我们使用这个公式来求出斜率：
首先，是多少？也就是 y 的增量是多少？
我们在图中可以看到 y 的增量，其实就是这里（绿色的线）：
它就是，所以
。
那么，是多少？也就是 x 的增量是多少？
我们在图中可以看到 x 的增量，其实就是这里（红色的线）：
它就是，所以
。所以我们得到：
把它们代到这里来计算就得到斜率了。这是很简单的。
现在我们a上面的点坐标设置为（3，4），b上面的点坐标设置为（6，8）。
如果我们要求直线的斜率：
得出斜率为4/3。
曲线概念
下面我们继续推广斜率的定义，也就是我们探究微积分时，将会学到新的概念。
我们要把这个斜率推广到曲线。
什么是曲线的斜率？
我们先画个曲线，方程是y = x^2 ，如下一个曲线图：
假设我们要具体求出这一点的斜率：
事实上，求某一点的斜率之前，我们必须先弄懂什么是曲线的斜率。
我们知道，直线的斜率是一直不变的。但对于曲线，它的斜率是变化的。
以上图上的那一点的斜率就是该点切线的斜率。就是刚好与曲线相切的直线，这的斜率就是这一点的斜率。如图：
这一点的斜率是负数。然后这点，它的斜率也是负的，但是这个负数的绝对值稍小。就像这样：
接着正向增加，斜率又变成递增了，我在画另一条切线，如图：
直线的斜率是不变的，你可以在直线上取任意两点，然后求出y和x的增量之比，就得到整条直线的斜率了。
但你们已经看到对于曲线，求它的斜率就稍微不同了。
我们来做个试验：
如果这时我想求这一点的斜率，我们该怎么做？
根据斜率的定义，求斜率需要两个坐标点。只有一个点的话，我们不知道怎么求斜率。
我们先令这一点的横坐标为x，我们取一个稍微大一点的点。如图：
那么，它们在曲线上的纵坐标是多少？曲线方程是y = f(x)。
那么这相当接近的两点，它们之间的斜率是多少呢？
请记住，现在求的还不是这一点的斜率，现在求的是这两点连线的斜率。割线和曲线相交两点：
我放大图那两点之间的图：
下面橙色点的坐标是，上面绿色点的坐标是
。
不管线性方程是什么，把横坐标代进去求得的就是纵坐标。
任意去两点，作为切入点。我们先问自己这条斜率是多少呢？
求直线斜率先求出y增量，然后用它比上x增量，如图：
黄色就是x和y的增量部分，然后这条割线的斜率是多少呢？我们根据公式得出：
我们先把它简化一下：
我们定义坐标的时候是令第二点比第一点大某个数h，而我们有一种叫"极限"的数学工具。
h是个一般化数据，可以是任何数。至少理论上是可以假设的。
如果令h无限趋近于0会怎么样？
首先，这里h可能是一个很大的数，但如果我令h变小一点，任何我们求这条新割线的斜率，如图：
然后继续令h变小一点，又求一次新割线的斜率：
一直这样变小。当h逐渐趋近与0，我求出的割线斜率就越来越接近，一直到所要求的那个点的切线的斜率了。
显然，如果h很大割线的斜率和那个确切的点的斜率相差十万八千里。
但如果h是0.00000001的话，两个斜率就非常接近了。
所以，我取 h 趋于0这一极限会怎么样呢？
（有教材把h写成，是一样的。）
我们就令该表达式为这点切线的斜率，这个式子我们称为f(x)的导函数，我把它写下来：
记住，曲线上的每一点斜率都不一样。不管你取什么x值，它都对应一个不同的斜率。
现在可以利用这个公式，把任意x值代入，求出那一点斜率。
——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。