数据结构与算法之四——二叉树、红黑树、2-3-4树

参考https://www.cnblogs.com/ysocean/p/8032642.html

二叉树

二叉树：树的每个节点最多只能有两个子节点
二叉搜索树要求：一个二叉树的左节点值小于节点，右节点值大于节点。

节点类

public class Node {
    private Object data;    //节点数据
    private Node leftChild; //左子节点的引用
    private Node rightChild; //右子节点的引用
    //打印节点内容
    public void display(){
        System.out.println(data);
    }

}

查找

//查找节点
public Node find(int key) {
    Node current = root;
    while(current != null){
        if(current.data > key){//当前值比查找值大，搜索左子树
            current = current.leftChild;
        }else if(current.data < key){//当前值比查找值小，搜索右子树
            current = current.rightChild;
        }else{
            return current;
        }
    }
    return null;//遍历完整个树没找到，返回null
}

树的效率：查找节点的时间取决于这个节点所在的层数，每一层最多有2n-1个节点，总共N层共有2n-1个节点，那么时间复杂度为O(logn),底数为2。

插入

//插入节点
public boolean insert(int data) {
    Node newNode = new Node(data);
    if(root == null){//当前树为空树，没有任何节点
        root = newNode;
        return true;
    }else{
        Node current = root;
        Node parentNode = null;
        while(current != null){
            parentNode = current;
            if(current.data > data){//当前值比插入值大，搜索左子节点
                current = current.leftChild;
                if(current == null){//左子节点为空，直接将新值插入到该节点
                    parentNode.leftChild = newNode;
                    return true;
                }
            }else{
                current = current.rightChild;
                if(current == null){//右子节点为空，直接将新值插入到该节点
                    parentNode.rightChild = newNode;
                    return true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

遍历树
①、中序遍历:左子树——》根节点——》右子树
②、前序遍历:根节点——》左子树——》右子树
③、后序遍历:左子树——》右子树——》根节点

//中序遍历
public void infixOrder(Node current){
    if(current != null){
        infixOrder(current.leftChild);
        System.out.print(current.data+" ");
        infixOrder(current.rightChild);
    }
}

//前序遍历
public void preOrder(Node current){
    if(current != null){
        System.out.print(current.data+" ");
        preOrder(current.leftChild);
        preOrder(current.rightChild);
    }
}

//后序遍历
public void postOrder(Node current){
    if(current != null){
        postOrder(current.leftChild);
        postOrder(current.rightChild);
        System.out.print(current.data+" ");
    }
}

删除，比较麻烦，因为如果删除的是有子节点的，还需要再排序，所以经常在节点中设立一个变量isdeleted。
二叉树的效率

在有1000000 个数据项的无序数组和链表中，查找数据项平均会比较500000 次，但是
在有1000000个节点的二叉树中，只需要20次或更少的比较即可。

有序数组可以很快的找到数据项，但是插入数据项的平均需要移动 500000 次数据项，
在 1000000 个节点的二叉树中插入数据项需要20次或更少比较，在加上很短的时间
来连接数据项。

同样，从 1000000 个数据项的数组中删除一个数据项平均需要移动 500000 个数据
项，而在 1000000 个节点的二叉树中删除节点只需要20次或更少的次数来找到他，然
后在花一点时间来找到它的后继节点，一点时间来断开节点以及连接后继节点。

所以，树对所有常用数据结构的操作都有很高的效率。

哈夫曼(Huffman)编码
　二叉树中有一种特别的树——哈夫曼树（最优二叉树），其通过某种规则（权值）来构造出一哈夫曼二叉树，在这个二叉树中，只有叶子节点才是有效的数据节点（很重要），其他的非叶子节点是为了构造出哈夫曼而引入的！

所以对于消息：SUSIE SAYS IT IS EASY
哈夫曼编码为：100111110110111100100101110100011001100011010001111010101110

哈夫曼解码：每个字符都从根开始，如果遇到0，就向左走到下一个节点，如果遇到1，就向右。比如字符A是010，那么先向左，再向右，再向左，就找到了A，其它的依次类推。
这里写图片描述

红黑树

引入

这时候的搜索二叉树和链表没有任何区别了，这种情况下查找的时间复杂度为O(N)，而不是O(logN)。当然这是在最不平衡的条件下，实际情况下，二叉搜索树的效率应该在O(N)和O(logN)之间，这取决于树的不平衡程度。
那么为了能够以较快的时间O(logN)来搜索一棵树，我们需要保证树总是平衡的（或者大部分是平衡的），也就是说每个节点的左子树节点个数和右子树节点个数尽量相等。红-黑树的就是这样的一棵平衡树，对一个要插入的数据项（删除也是），插入例程要检查会不会破坏树的特征，如果破坏了，程序就会进行纠正，根据需要改变树的结构，从而保持树的平衡。
红黑树就是平衡的二叉树
红-黑树的特征

　　①、节点都有颜色；

　　②、在插入和删除的过程中，要遵循保持这些颜色的不同排列规则。

　　第一个很好理解，在红-黑树中，每个节点的颜色或者是黑色或者是红色的。当然也可以是任意别的两种颜色，这里的颜色用于标记，我们可以在节点类Node中增加一个boolean型变量isRed，以此来表示颜色的信息。

　　第二点，在插入或者删除一个节点时，必须要遵守的规则称为红-黑规则：

　　1.每个节点不是红色就是黑色的；

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　　2.根节点总是黑色的；

　　3.如果节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的（反之不一定）,(也就是从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)；

　　4.从根节点到叶节点或空子节点的每条路径，必须包含相同数目的黑色节点（即相同的黑色高度）。

　　从根节点到叶节点的路径上的黑色节点的数目称为黑色高度，规则 4 另一种表示就是从根到叶节点路径上的黑色高度必须相同。

　　注意：新插入的节点颜色总是红色的，这是因为插入一个红色节点比插入一个黑色节点违背红-黑规则的可能性更小，原因是插入黑色节点总会改变黑色高度（违背规则4），但是插入红色节点只有一半的机会会违背规则3（因为父节点是黑色的没事，父节点是红色的就违背规则3）。另外违背规则3比违背规则4要更容易修正。当插入一个新的节点时，可能会破坏这种平衡性，那么红-黑树是如何修正的呢？
红-黑树的自我修正
红-黑树主要通过三种方式对平衡进行修正，改变节点颜色、左旋和右旋。
①、改变节点颜色
②、右旋
③、左旋
插入操作具体见文章https://www.cnblogs.com/ysocean/p/8004211.html，
核心思想就是通过改变颜色，左旋右旋后保持左右的平衡，以利于插入的时候保持一个稳定的时间复杂度。
红黑树的效率：红黑树的查找、插入和删除时间复杂度都为O(log2N)，额外的开销是每个节点的存储空间都稍微增加了一点，因为一个存储红黑树节点的颜色变量。插入和删除的时间要增加一个常数因子，因为要进行旋转，平均一次插入大约需要一次旋转，因此插入的时间复杂度还是O(log2N),(时间复杂度的计算要省略常数)，但实际上比普通的二叉树是要慢的。
大多数应用中，查找的次数比插入和删除的次数多，所以应用红黑树取代普通的二叉搜索树总体上不会有太多的时间开销。而且红黑树的优点是对于有序数据的操作不会慢到O(N)的时间复杂度。

2-3-4树

2-3-4 树介绍
2-3-4树每个节点最多有四个字节点和三个数据项，名字中 2,3,4 的数字含义是指一个节点可能含有的子节点的个数。对于非叶节点有三种可能的情况：

　　①、有一个数据项的节点总是有两个子节点；

　　②、有二个数据项的节点总是有三个子节点；

　　③、有三个数据项的节点总是有四个子节点；

　　简而言之，非叶节点的子节点数总是比它含有的数据项多1。
　　
　　树结构中很重要的一点就是节点之间关键字值大小的关系。在二叉树中，所有关键字值比某个节点值小的节点都在这个节点左子节点为根的子树上；所有关键字值比某个节点值大的节点都在这个节点右子节点为根的子树上。2-3-4 树规则也是一样，并且还加上以下几点：
　　为了方便描述，用从0到2的数字给数据项编号，用0到3的数字给子节点编号，如下图：
　　①、根是child0的子树的所有子节点的关键字值小于key0；

　　②、根是child1的子树的所有子节点的关键字值大于key0并且小于key1；

　　③、根是child2的子树的所有子节点的关键字值大于key1并且小于key2；

　　④、根是child3的子树的所有子节点的关键字值大于key2。

　　简化关系如下图，由于2-3-4树中一般不允许出现重复关键值，所以不用考虑比较关键值相同的情况。
　　
搜索2-3-4树：与二叉树无异，此处不赘述
插入：插入操作有时比较简单，有时却很复杂。

　　①、当插入没有满数据项的节点时是很简单的，找到合适的位置，只需要把新数据项插入就可以了
　　②、如果往下寻找插入位置的途中，节点已经满了，那么插入就变得复杂了。发生这种情况时，节点必须分裂，分裂能保证2-3-4树的平衡。
节点分裂
一、创建一个新的空节点，它是要分裂节点的兄弟，在要分裂节点的右边；
二、数据项C移到新节点中；
三、数据项B移到要分裂节点的父节点中；
四、数据项A保留在原来的位置；
五、最右边的两个子节点从要分裂处断开，连到新节点上。
2-3-4 树的效率：分析2-3-4树我们可以和红黑树作比较分析。红-黑树的层数（平衡二叉树）大约是log2(N+1)，而2-3-4树每个节点可以最多有4个数据项，如果节点都是满的，那么高度是log4N。因此在所有节点都满的情况下，2-3-4树的高度大致是红-黑树的一半。不过他们不可能都是满的，所以2-3-4树的高度大致在log2(N+1)和log2(N+1)/2。减少2-3-4树的高度可以使它的查找时间比红-黑树的短一些。
但是另一方面，每个节点要查看的数据项就多了，这会增加查找时间。因为节点中用线性搜索来查看数据项，使得查找时间的倍数和M成正比，即每个节点数据项的平均数量。总的查找时间和M*log4N成正比。

数据结构与算法之四——二叉树、红黑树、2-3-4树

二叉树

红黑树

2-3-4树

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