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最长上升子序列问题

多重背包问题

多重部分和问题

划分数问题

多重集组合数问题

1、最长上升子序列问题

题目：有一个长为n的数列a0,a1,…,an-1。请求出这个序列中最长的上升子序列的长度。上升子序列指的是对于任意的 i< j 都满足ai< aj 的子序列。
思路： 定义dp[i]为长度为i+1的上升子序列中末尾元素的最小值（不存在的话为INF）

//最长上升子序列问题
int dp[Max_n];

void solve(){
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++)
        *lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];
    printf("%d\n",lower_bound(dp,dp+n,inf)-dp);
}

2、多重背包问题

题目：有n种重量、价值和数量分别为wi，vi，ci的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求出挑选物品价值总和的最大值。(1≤n≤100，1≤W≤50000)
思路：二进制优化多重背包。

//多重背包问题
int n,W;
int w[Max_n],v[Max_n],c[Max_n]; //重量、价值和数量
int dp[Max_W];

void ZeroOne_Pack(int w,int v){ 
    for(int i=W;i>=w;i--)
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-w]+v);
}
void Complete_Pack(int w,int v){ 
    for(int i=w;i<=W;i++)
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-w]+v);
}
int  Multi_Pack(){ 
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(w[i]*c[i]>=W)Complete_Pack(w[i],v[i]);
        else {
            int k=1;
            while(k<c[i]){
                ZeroOne_Pack(w[i]*k,v[i]*k);
                c[i]-=k;
                k<<=1;
            }
            ZeroOne_Pack(w[i]*c[i],v[i]*c[i]);
        }
    }
    return dp[W];
}

3、多重部分和问题

题目：有n种不同大小的数字ai，每种各ci个，判断是否可以从这些数字之中选出若干使它们的和恰好为k。（1 ≤n≤100 , 1≤K≤100000)
思路： 定义dp[i+1][j]为前 i 种数加和得到 j 时第 i 种数最多能剩余多少（不能加和得到 i 的情况为 -1）

//多重部分和问题
int n,k;
int a[Max_n],c[Max_n];
int dp[Max_k];

bool solve(){
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++){
        dp[0]=c[i];
        for(int j=1;j<=k;j++){ //递推关系
            if(dp[j]>=0)dp[j]=c[i];
            else if(j>=a[i]&&dp[j-a[i]]>0)dp[j]=dp[j-a[i]]-1;
            else dp[j]=-1;
        }
    }
    if(dp[k]>=0)return true;
    else return false;
}

4、划分数问题

题目：有n个无区别的物品，将它们划分成不超过m组，求出划分方法数模M的余数。（1 ≤m≤n≤1000)
思路： 考虑n的m划分ai（i=1,2,3…），如果对于每个ai>0，那么{ai-1}就对应了n-m的m划分，另外如果存在ai=0，那么就对应了n的m-1划分。定义dp[i][j]为 i 的 j 划分的总数，则dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j]。

//划分数问题
int n,m;
int dp[Max_n][Max_m];

void solve(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=1;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i>=j)dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i-j][j])%M;
            else dp[i][j]=dp[i][j-1];
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][m]);
}

5、多重集组合数问题

题目：有n种物品，第i种物品有ai个。不同种类的物品可以互相区分但相同种类的无法区分。从这些物品中取出m个的话，有多少种取法？求出方案数模M的余数。（1≤n≤1000，1≤m≤1000，1≤ai≤1000，2≤M≤10000)
思路： 定义dp[i][j]为从前i中物品中取出j个的组合总数。
① j≤a[i]时，dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j] ② j>s[i]时,dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j]-dp[i-1][j-1-a[i]]。

//多重集组合数问题
int n,m;
int dp[2][Max_n];

void solve(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=dp[1][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(j<=a[i])dp[i&1][j]=(dp[i&1][j-1]+dp[(i-1)&1][j])%mod;
            else dp[i&1][j]=(dp[i&1][j-1]+dp[(i-1)&1][j]-dp[(i-1)&1][j-1-a[i]]+mod)%mod;
            //在有取余的情况下，要避免减法运算的结果出现负数
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n&1][m]);
}

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