NOIP 2009 道路游戏

Description

给你一个 $n \le 1000$ 个点的环，要求在上面走过 $m \le 1000$ 条边，从第 $i$ 个点出发需要花费代价 $cost_i$，每一次出发最多经过 $p \le m$ 条边，每条边在每个时刻都有一个收益，每个时刻可以从第 $i$ 个点走向第 $i+1$ 个点，不能不走，中途可以从任意一个点出发，最大化收益 $-$ 代价。

Solution

设 $f[i]$ 表示前 $i$ 个时段的最大收益值，

$sum[i][j]$ 表示到第 $i$ 个时段为止，前 $j$ 条路段的金币之和，

$cost[i]$ 表示从第 $i$ 个工厂购买机器人的花费。

考虑 $O(n^3)$ 做法，有

$$f[i]=max\{f[i-k]+sum[i][j]-sum[i-k][j-k]-cost[j-k]\}$$

由于 $sum[i][j]$ 非负，则

$$f[i]=max\{f[i-k]-sum[i-k][j-k]-cost[j-k]\}+sum[i][j]$$

发现括号里面的式子整体减 $k$，如果用 $g[i][j]$ 表示 $f[i]-sum[i][j]-cost[j]$，那么 $g[i-k][j-k]$ 就是与它在一个对角线上的元素。

又由于有 $p$ 的限制，于是可以用 $n$ 个单调队列维护 $n$ 个对角线，如图：

$f[i]-sum[i][j]-cost[j]$ 即为单调队列的关键字。

Error

• 一开始把式子写成了 $f[i][j]=max\{f[i-k][j-k]+sum[i][j]-sum[i-k][j-k]-cost[j-k]\}$
  这样是不对的，因为上一次出发的起始点可以是任意位置，而不限于 $j-k$。

• 单调队列写错了，$tail$ 应该是最后一位 $+1$。

• 初始化时，应该把 $0$ 时刻加到所有的队列里，因为 $\le p$ 的所有时刻都可以由 $0$ 时刻转移过来。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int N = 1005, INF = 0x7fffffff;
int a[N][N], sum[N][N], cost[N], f[N], id[N][N], q[N][N], h[N], t[N];

int read() {
    int x = 0; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return x;
}
int max(int x, int y) {
    if (x >= y) return x; return y;
}

int main() {
    int n = read(), m = read(), p = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j) a[i%n][j] = read();
    for (int i = 0; i < n; ++i) cost[i] = read();

    for (int i = 1; i <= m; ++i)                                    //前缀和 
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            sum[i][j] = sum[i-1][(j-1+n)%n] + a[j][i];

    for (int i = 0; i < n; ++i) id[1][i] = i + 1;                   //单调队列标号 
    for (int i = 2; i <= m; ++i)
        for (int j = 0; j < n; ++j) id[i][j] = id[i-1][(j-1+n)%n];

    for (int i = 1; i <= m; ++i) f[i] = -INF;                       //初始化 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) q[i][t[i]++] = 0;                  //切勿忘记0时刻的存在 

    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            int x = id[i][j];
            while (h[x] < t[x] && i - q[x][h[x]] > p) ++h[x];
            int k = i - q[x][h[x]];
            f[i] = max(f[i], f[i-k] + sum[i][j] - sum[i-k][(j-k+n)%n] - cost[(j-k+n)%n]);
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            int x = id[i][j];
            int tmp = f[i] - sum[i][j] - cost[j];
            while (h[x] < t[x]) {
                int k = i - q[x][t[x]-1];
                if (f[i-k] - sum[i-k][(j-k+n)%n] - cost[(j-k+n)%n] <= tmp) --t[x];
                else break;
            }
            q[x][t[x]++] = i;
        }
    }
    printf("%d\n", f[m]);

    return 0;
}