BZOJ 1801: [Ahoi2009]chess 中国象棋

Description

在 $N \le 100$ 行 $M \le 100$ 列的棋盘上，放若干个炮可以是 $0$ 个，使得没有任何一个炮可以攻击另一个炮，请问有多少种放置方法。
一个炮攻击到另一个炮，当且仅当它们在同一行或同一列中，且它们之间恰好 有一个棋子。

Solution

每行每列最多放两个炮。

不难想到用 $f[i][j][k][a][b][c][d]$ 表示前 $i$ 行放了 $j$ 个炮，其中第 $i$ 行放了 $k$ 个，分别在 $a$ 列和 $b$ 列，$a$ 列放了 $c$ 个炮，$b$ 列放了 $d$ 个炮的方案数。其中 $0 \le k,c,d \le 2$。

这样的DP时间和空间复杂度都是 $O(n^4)$ 的，可以过 $50\%$ 的数据，考虑怎样优化。

考虑怎样把 $a,b$ 合成一个。不妨先做每行每列只放一个的，再把它用乘法原理合并成每行每列放两个的。

那么用 $f[i][j][k][l]$ 表示前 $i$ 行放了 $j$ 个炮，其中第 $i$ 行的炮放在了第 $j$ 列，第 $j$ 列有 $l$ 个炮的方案数（$j=0$ 表示不放）。

但最后的答案并不能直接平方，因为会有重复的情况，比如：

这怎么办呢？

---

劳资弃了上面的想法QAQ

设 $f[i][j][k]$ 表示前 $i$ 行有 $j$ 列是一个棋子，$k$ 列有两个棋子的方案数。

那么

$$\begin{eqnarray}f[i][j][k] &=&f[i-1][j][k] \\ &+&f[i-1][j-1][k] \times \binom{m-j-k+1}{1} \\ &+&f[i-1][j+1][k-1] \times \binom{j+1}{1} \\ &+&f[i-1][j-2][k] \times \binom{m-j-k+2}{2} \\ &+&f[i-1][j+2][k-2] \times \binom{j+2}{2} \\ &+&f[i-1][j][k-1] \times \binom{m-j-k+1}{1} \binom{j}{1} \end{eqnarray}$$

这题跟 $\color{LightPink}{着色方案}$ 好像啊。

Error

• 一上来就想错，没有仔细验证……

• $f[i-1][j][k-1] \times \binom{m-j-k+1}{1} \binom{j}{1}$ 这个式子，要保证 $j>0$ 才行，因为要把一个有一个棋子的列变成有两个棋子的。

• 初始化直接让 $f[0][0][0]=1$ 就可以。

Code

#include <cstdio>

const int N = 105, P = 9999973;
int f[N][N][N];

int main() {
    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
    f[0][0][0] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
            for (int k = 0; k <= m - j; ++k) {
                f[i][j][k] = f[i-1][j][k];
                if (j > 0) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + 1LL * f[i-1][j-1][k] * (m - j - k + 1)) % P;
                if (j > 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + 1LL * f[i-1][j-2][k] * (m - j - k + 2) * (m - j - k + 1) / 2) % P;
                if (j < m && k > 0) (f[i][j][k] = f[i][j][k] + 1LL * f[i-1][j+1][k-1] * (j + 1)) % P;
                if (j > 0 && k > 0) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + 1LL * f[i-1][j][k-1] * (m - j - k + 1) * j) % P;
                if (j < m - 1 && k > 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + 1LL * f[i-1][j+2][k-2] * (j + 2) * (j + 1) / 2) % P;
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for (int j = 0; j <= m; ++j)
        for (int k = 0; k <= m - j; ++k)
            ans = (ans + f[n][j][k]) % P;
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

QAQ另附上每行每列只有一个棋子的代码：

#include <cstdio>

const int N = 105, P = 9999973;
int f[N][N][N][2];

int main() {
    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i <= m; ++i) f[0][0][i][0] = f[0][0][i][1] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) { //前i行 
        for (int j = 0; j <= i; ++j) { //放了j个棋子 
            int sum = 0;
            if (j) for (int k = 1; k <= m; ++k) { //第i行放一个棋子在第k列 
                f[i][j][k][1] = (f[i][j][k][1] + f[i-1][j-1][k][0]) % P;
                sum = (sum + f[i][j][k][1]) % P;
            }
            for (int k = 0; k <= m; ++k) { //第i行不放棋子 
                if (j == 0 && k) break;
                f[i][j][0][1] = (f[i][j][0][1] + f[i-1][j][k][1]) % P;
                sum = (sum + f[i][j][0][1]) % P;
            }
            for (int k = 1; k <= m; ++k) { //第k列没有棋子 
                f[i][j][k][0] = (sum - f[i][j][k][1] + P) % P;
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
        for (int j = 0; j <= m; ++j)
            ans = (ans + f[n][i][j][1]) % P;
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}