10.分布傅里叶变换的性质 [学习笔记]

在第9部分学习笔记中，我们导出了分布傅里叶变换，用以解决普通傅里叶变换难以解决的一些问题。本文的内容就是在此基础上进一步进行讨论。

一、分布傅里叶变换的导数相关性质

\begin{aligned} ⟨ T^{^{'}}, φ ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} T^{^{'}} (x) φ (x) d x \\ = {T (x) φ (x) |}_{- \infty}^{\infty} - \int_{- \infty}^{\infty} T (x) d φ (x) \end{aligned}

$\begin{align*} \left< T^{'}, \varphi \right> &=\int_{-\infty}^{\infty}T^{'}(x)\varphi(x)dx\\ &=\left. T(x)\varphi(x) \right|_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}T(x) d\varphi(x)\\ \end{align*}$

由于是缓增分布，是速降函数，因此当 $x \to \pm \infty$ 时， $\varphi(x) \to 0$ ， $T(x)\varphi(x) \to 0$ ，于是就有：

\begin{aligned} ⟨ T^{^{'}}, φ ⟩ & = 0 - \int_{- \infty}^{\infty} T (x) φ^{^{'}} (x) d x \\ = - ⟨ T, φ^{^{'}} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} \left< T^{'}, \varphi \right> &=0-\int_{-\infty}^{\infty}T(x)\varphi^{'}(x)dx\\ &= -\left< T, \varphi^{'} \right> \end{align*}$

这就是我们推导的第一个非常重要的公式：

$\begin{matrix} (1) & ⟨ T^{^{'}}, φ ⟩ = - ⟨ T, φ^{^{'}} ⟩ \end{matrix}$ $\left< T^{'}, \varphi \right> = -\left< T, \varphi^{'} \right>\tag 1$

接下来我们举几个例子来应用上述公式，

单位阶跃函数 $u(x)$

$u (x) = {\begin{cases} 1 & x > 0 \\ \frac{1}{2} & x = 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$ $u(x)= \begin{cases} 1 & \quad x>0\\ \frac{1}{2} & \quad x=0\\ 0 & \quad x<0 \end{cases}$

根据 $(1)$ 式，我们来求它的导数

$\begin{aligned} u^{^{'}} = ⟨ u^{^{'}}, φ ⟩ = - ⟨ u, φ^{^{'}} ⟩ & = - \int_{- \infty}^{\infty} u (x) φ^{^{'}} (x) d x \\ = - \int_{0}^{\infty} φ^{^{'}} (x) d x \\ = - (φ (\infty) - φ (0)) \\ = φ (0) \\ = ⟨ δ, φ ⟩ \\ = δ \end{aligned}$ $\begin{align*} u^{'}=\left< u^{'}, \varphi \right>= -\left< u, \varphi^{'} \right> &= -\int_{-\infty}^{\infty}u(x)\varphi^{'}(x)dx\\ &=-\int_{0}^{\infty} \varphi^{'}(x)dx\\ &=-\left( \varphi(\infty)-\varphi(0)\right)\\ &=\varphi(0)\\ &=\left< \delta, \varphi \right>\\ &=\delta \end{align*}$

于是我们就得到了 $u^{'} = \delta$
信号函数 $sgn(x)$

$s g n (x) = {\begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ - 1 & x < 0 \end{cases}$ $sgn(x)= \begin{cases} 1 & \quad x>0\\ 0 & \quad x=0\\ -1 & \quad x<0 \end{cases}$

类似地，我们有

$\begin{aligned} s g n^{^{'}} & = ⟨ s g n^{^{'}}, φ ⟩ \\ = - ⟨ s g n, φ^{^{'}} ⟩ \\ = - \int_{- \infty}^{\infty} s g n (x) φ^{^{'}} (x) d x \\ = - (\int_{0}^{\infty} φ^{^{'}} (x) d x + \int_{- \infty}^{0} - φ^{^{'}} (x) d x) \\ = - [(φ (\infty) - φ (0)) + (- φ (0) + φ (- \infty))] \\ = 2 φ (0) \\ = 2 ⟨ δ, φ ⟩ \\ = 2 δ \end{aligned}$ $\begin{align*} sgn^{'}&=\left< sgn^{'}, \varphi \right>\\ &= -\left< sgn, \varphi^{'} \right> \\ &= -\int_{-\infty}^{\infty}sgn(x)\varphi^{'}(x)dx\\ &=-\left( \int_{0}^{\infty} \varphi^{'}(x)dx + \int_{-\infty}^{0} -\varphi^{'}(x)dx \right)\\ &=-\left[ \left( \varphi(\infty)-\varphi(0)\right) + \left( -\varphi(0) + \varphi(-\infty)\right) \right]\\ &=2\varphi(0)\\ &=2\left< \delta, \varphi \right>\\ &=2\delta \end{align*}$

即 $sgn^{'} = 2\delta$

二、分布傅里叶导数定理

类似普通傅里叶变换中讨论的，我们有：

F (T^{(n)}) = {(2 π i s)}^{n} F T

${\scr F}\left(T^{(n)}\right) = \left( 2\pi is\right)^n {\scr F}T$

{(F T)}^{(n)} = F ({(- 2 π i t)}^{n} T)

$\left( {\scr F} T \right) ^{(n)} = {\scr F} \left( \left( -2\pi it \right)^n T \right)$

例

信号函数 $sgn(x)$

我们要求其傅里叶变换，首先，我们有：

$F (s g n^{^{'}}) = F (2 δ) = 2$ ${\scr F}\left(sgn^{'} \right) = {\scr F} (2\delta) = 2$

然后根据导数定理，有

$F (s g n^{^{'}}) = 2 π i s F (s g n)$ ${\scr F}\left(sgn^{'} \right) = 2\pi is {\scr F} \left( sgn\right)$

联立二式可以得到

$F (s g n) = \frac{1}{π i s}$ ${\scr F} \left( sgn\right) = \frac{1}{\pi is}$
单位阶跃函数 $u(x)$

简单来说，我们可以将 $u(x)$ 写成 $\frac{1}{2}\left( 1+ sng(x)\right)$ ，于是就有

$\begin{aligned} F u & = \frac{1}{2} F (1 + s n g) \\ = \frac{1}{2} (δ + \frac{1}{π i s}) \end{aligned}$ $\begin{align*} {\scr F}u &= \frac{1}{2} {\scr F} \left( 1+ sng\right)\\ &=\frac{1}{2} \left( \delta + \frac{1}{\pi is} \right) \end{align*}$

三、函数（分布）与分布的乘积与卷积
注意分布与分布的乘积、卷积很多情况下是没有意义的，但是函数与分布的乘积与卷积大部分情况下是有意义的

函数与分布的乘积公式

$⟨ f T, φ ⟩ = ⟨ T, f φ ⟩$ $\left< fT, \varphi \right> = \left< T, f\varphi \right>$

证明如下

$\begin{aligned} ⟨ f T, φ ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) T (x) φ (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} T (x) (f (x) φ (x)) d x \\ = ⟨ T, f φ ⟩ \end{aligned}$ $\begin{align*} \left< fT, \varphi \right> &= \int_{-\infty}^{\infty}f(x)T(x)\varphi (x)dx\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}T(x) \left(f(x)\varphi (x) \right)dx\\ &=\left< T, f\varphi \right> \end{align*}$

两个常见例子：

a) $f\delta = f(0)\delta$

$\begin{aligned} f δ = ⟨ f δ, φ ⟩ & = ⟨ δ, f φ ⟩ \\ = f (0) φ (0) \\ = f (0) ⟨ δ, φ ⟩ \\ = ⟨ f (0) δ, φ ⟩ \\ = f (0) δ \end{aligned}$ $\begin{align*} f\delta = \left< f\delta, \varphi \right> &= \left< \delta, f\varphi \right>\\ &= f(0) \varphi (0)\\ &=f(0)\left< \delta, \varphi \right>\\ &=\left< f(0)\delta, \varphi \right>\\ &=f(0)\delta \end{align*}$

b) $f\delta_a = f(a)\delta_a$

上式被称为 $\delta_a$ 的抽样特性，是实际应用中一个非常常用的公式
函数与分布的卷积公式

与普通傅里叶变换类似地，我们有：

$F (f * T) = (F f) (F T)$ ${\scr F}( f*T ) = \left( {\scr F}f \right)\left( {\scr F}T \right)$

同样，我们举出一个非常常用的实例

a) ${\scr F}( f*\delta ) = \left( {\scr F}f \right)\left( {\scr F}\delta \right) = {\scr F}f$

对等式两边再进行傅里叶逆变换，就有 $f*\delta =f$ ，更一般地，我们有：

$(f * δ_{a}) (x) = f (x - a)$ $(f*\delta_a) (x) = f(x-a)$
分布与分布的卷积公式特例

一般来说分布与分布的卷积是没有意义的，但是也有例外，比如有一个非常重要的例子：

$δ_{a} * δ_{b} = δ_{a + b}$ $\delta_a * \delta_b = \delta_{a+b}$

四、 $\delta(ax)$

从便于计算的角度出发推导，不必刻意寻求物理意义，我们可以得到

$δ (k x) = \frac{1}{| k |} δ (x)$ $\delta(kx) = \frac{1}{|k|} \delta(x)$

证明如下

δ (k x) = ⟨ δ (k x), φ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} δ (k x) φ (x) d x

$\delta(kx) = \left< \delta(kx), \varphi \right>=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(kx) \varphi(x)dx$

令 $u=kx$ ，讨论 $k \geq 0$ 的情况，有

\begin{aligned} δ (k x) & = \int_{- \infty}^{\infty} δ (u) φ (\frac{u}{k}) d (\frac{u}{k}) \\ = \frac{1}{k} ⟨ δ (u), φ (\frac{u}{k}) ⟩ \\ = \frac{1}{k} φ (0) \\ = \frac{1}{k} ⟨ δ, φ ⟩ \\ = \frac{1}{k} δ (k x) \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(kx)&=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(u) \varphi(\frac{u}{k})d\left( \frac{u}{k}\right)\\ &=\frac{1}{k} \left< \delta(u), \varphi(\frac{u}{k}) \right>\\ &=\frac{1}{k} \varphi(0)\\ &=\frac{1}{k} \left< \delta, \varphi \right>\\ &=\frac{1}{k} \delta(kx) \end{align*}$

同理可得 $k < 0$ 的情况，得证。