loj6017/bzoj4161 线性齐次递推多项式取模优化

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显然强大的Rayment已经讲得很清楚了：这里
因为这东西我可能明天就忘了，所以写一下。
大概就是构造一个多项式$g(x)=x^k-\sum_{i=1}^ka_ix^{k-i}$（$a$是美丽的转移系数）。对于线性齐次递推的转移矩阵$A$，设有$A^{n-k+1}=g(A)p(A)+r(A)$，又由于$g(A)=0$所以$A^{n-k+1}=r(A)$
然后用类似快速幂的方法搞这个东西，得到多项式$r$的系数。
那么有$A^{n-k+1}=\sum_{i=0}^{k-1}r_iA^i$，两边同时乘初始向量$H_{k-1}$（下标代表该向量代表的每一项里最大项是$h_{k-1}$）得到：$H_n=\sum_{i=0}^{k-1}r_iH_{i+k-1}$，即$h_n=\sum_{i=0}^{k-1}r_ih_{i+k-1}$
然后多项式乘法和取模都暴力搞即可。多项式取模的暴力搞就是竖式除法，由于$g$的最高次项为1，所以这个竖式除法还是很好写的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
const int N=4005,mod=1000000007;
int a[N],h[N],r[N],ans[N],g[N],c[N];
int n,K,res;
int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
void mul(int *a,int *b) {
    for(RI i=0;i<=2*K-2;++i) c[i]=0;
    for(RI i=0;i<K;++i)
        for(RI j=0;j<K;++j)
            c[i+j]=qm(c[i+j]+1LL*a[i]*b[j]%mod);
    for(RI i=2*K-2;i>=K;--i)
        for(RI j=K-1;j>=0;--j)
            c[i-K+j]=qm(c[i-K+j]-1LL*c[i]*g[j]%mod+mod);
            //直接乘以c[i]是因为g的最高次项系数为1
    for(RI i=0;i<K;++i) a[i]=c[i];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&K);
    for(RI i=1;i<=K;++i) scanf("%d",&a[i]),a[i]=qm(a[i]+mod);
    for(RI i=0;i<K;++i) scanf("%d",&h[i]),h[i]=qm(h[i]+mod);
    g[K]=1;for(RI i=1;i<=K;++i) g[K-i]=mod-a[i];
    for(RI i=K;i<=2*K-1;++i)
        for(RI j=1;j<=K;++j) h[i]=qm(h[i]+1LL*h[i-j]*a[j]%mod);
    if(n<=2*K-1) {printf("%d\n",h[n]);return 0;}
    r[1]=ans[0]=1;
    for(RI i=n-K+1;i;i>>=1,mul(r,r)) if(i&1) mul(ans,r);
    for(RI i=0;i<K;++i) res=qm(res+1LL*ans[i]*h[K-1+i]%mod);
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}