BZOJ1996 || 洛谷P3205 [HNOI2010]合唱队【区间DP】

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题目描述

为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为AAA合唱队负责人的小A需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共N个人，第i个人的身高为Hi米(1000<=Hi<=2000),并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是A 个人站成一排，为了简化问题，小A想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

-第一个人直接插入空的当前队形中。
-对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高(H较大)，那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮(H较小)，那么将他插入当前队形的最左边。
当N个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有6个人站成一个初始队形，身高依次为1850、1900、1700、1650、1800和1750,
那么小A会按以下步骤获得最终排出的队形：

1850
1850 , 1900 因为 1900 > 1850
1700, 1850, 1900 因为 1700 < 1900
1650 . 1700, 1850, 1900 因为 1650 < 1700
1650 , 1700, 1850, 1900, 1800 因为 1800 > 1650
1750， 1650, 1700，1850, 1900, 1800 因为 1750 < 1800
因此，最终排出的队形是 1750，1650，1700，1850, 1900，1800

小A心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形

说明

30%的数据：n<=100
100%的数据：n<=1000

题目分析

由题意知任意时刻的队列都是最终队列的字串
所以可以直接在最终队列上区间DP

用 $dp[0][ll][rr]$ 表示
能形成最终队列中 $[ll,rr]$ 这个区间，且最后进入该区间的人位置为 $ll$ 的方案数
用 $dp[1][ll][rr]$ 表示
能形成最终队列中 $[ll,rr]$ 这个区间，且最后进入该区间的人位置为 $rr$ 的方案数

那么状态转移方程为
$dp[0][ll][rr]=(h[ll]<h[rr])*dp[1][ll+1][rr]+(a[ll]<a[ll+1])*dp[0][ll+1][rr]$
$dp[1][ll][rr]=(a[rr]>a[ll])*dp[0][ll][rr-1]+(a[rr]>a[rr-1])*dp[1][ll][rr-1]$

特别注意初始化
$dp[0][i][i]=1$ (或 $dp[1][i][i]=1$ )
因为长度为1的区间只有一种入队方式
初始化只能给其中一种赋值

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long lt;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return x*f;
}

const int mod=19650827;
const int maxn=1010;
int n;
int a[maxn];
int dp[2][maxn][maxn];

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    a[i]=read(),dp[0][i][i]=1;

    for(int ll=n;ll>=1;--ll)
    for(int rr=ll+1;rr<=n;++rr)
    {
        if(a[ll]<a[rr])dp[0][ll][rr]+=dp[1][ll+1][rr],dp[0][ll][rr]%=mod;
        if(a[ll]<a[ll+1])dp[0][ll][rr]+=dp[0][ll+1][rr],dp[0][ll][rr]%=mod;

        if(a[rr]>a[ll])dp[1][ll][rr]+=dp[0][ll][rr-1],dp[1][ll][rr]%=mod;
        if(a[rr]>a[rr-1])dp[1][ll][rr]+=dp[1][ll][rr-1],dp[1][ll][rr]%=mod;
    }
    printf("%d",(dp[0][1][n]+dp[1][1][n])%mod);
    return 0;
}